Question

如圖，拋物線y=

1

2

x²+bx-2交x正半軸軸于點A，交x軸負半軸于點B，交y軸負半軸于點C，O為坐標原點，這條拋物線的對稱軸為直線x=-

3

2

．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線上是否存在點P（點C除外），使△APB的面積等于△ABC的面積？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)對稱軸x=-

b

2a

即可求得b的值，從而求得拋物線的解析式；
（2）根據(jù)三角形ABC的面積和AB的長求得P的縱坐標，把縱坐標代入拋物線的解析式即可求得P的坐標．

解答：解：∵拋物線y=

1

2

x²+bx-2的對稱軸為直線x=-

3

2

，
∴-

b

2× 1 2

=-

3

2

，
解得b=

3

2

．
∴拋物線的解析式為y=

1

2

x²+

3

2

x-2．

（2）如圖，由拋物線的解析式為y=

1

2

x²+

3

2

x-2．
∴C的坐標為（0，-2），
令y=0，
∴

1

2

x²+

3

2

x-2=0，解得x₁=-4，x₂=1，
∴A（1，0），B（-4，0），
∴AB=5，
∵△APB的面積等于△ABC的面積，
∴P的縱坐標為2或-2，
把y=2代入y=

1

2

x²+

3

2

x-2得

1

2

x²+

3

2

x-2=2，解得x=

-3+ 41

2

或x=

-3- 41

2

，
把y=-2代入y=

1

2

x²+

3

2

x-2得

1

2

x²+

3

2

x-2=-2，解得x=0或x=-3；
∴P點的坐標為（

-3+ 41

2

，2）或（

-3- 41

2

，2）或（-3，-2）．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了拋物線與坐標軸的交點的求解，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形的面積，綜合性較強．