Question

如圖，以G（0，1）為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C、D兩點，點E為⊙G上一動點，CF⊥AE于F．當點E從點B出發(fā)順時針運動到點D時，點F所經(jīng)過的路徑長為（　�。�

• A．

  3

  2

  π
• B．

  3

  3

  π
• C．

  3

  4

  π
• D．

  3

  6

  π

Answer 1

分析：連接AC，AG，由OG垂直于AB，利用垂徑定理得到O為AB的中點，由G的坐標確定出OG的長，在直角三角形AOG中，由AG與OG的長，利用勾股定理求出AO的長，進而確定出AB的長，由CG+GO求出OC的長，在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出AC的長，由CF垂直于AE，得到三角形ACF始終為直角三角形，點F的運動軌跡為以AC為直徑的半徑，如圖中紅線所示，當E位于點B時，CO⊥AE，此時F與O重合；當E位于D時，CA⊥AE，此時F與A重合，可得出當點E從點B出發(fā)順時針運動到點D時，點F所經(jīng)過的路徑長

AO

，在直角三角形ACO中，利用銳角三角函數(shù)定義求出∠ACO的度數(shù)，進而確定出

AO

所對圓心角的度數(shù)，再由AC的長求出半徑，利用弧長公式即可求出

AO

的長．

解答：解：連接AC，AG，
∵GO⊥AB，
∴O為AB的中點，即AO=BO=

1

2

AB，
∵G（0，1），即OG=1，
∴在Rt△AOG中，根據(jù)勾股定理得：AO=

AG2-OG2

=

3

，
∴AB=2AO=2

3

，
又CO=CG+GO=2+1=3，
∴在Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理得：AC=

AO2+CO2

=2

3

，
∵CF⊥AE，
∴△ACF始終是直角三角形，點F的運動軌跡為以AC為直徑的半圓，
當E位于點B時，CO⊥AE，此時F與O重合；當E位于D時，CA⊥AE，此時F與A重合，
∴當點E從點B出發(fā)順時針運動到點D時，點F所經(jīng)過的路徑長

AO

，
在Rt△ACO中，tan∠ACO=

AO

CO

=

3

3

，
∴∠ACO=30°，
∴

AO

度數(shù)為60°，
∵直徑AC=2

3

，
∴

AO

的長為

60π× 3

180

=

3

3

π，
則當點E從點B出發(fā)順時針運動到點D時，點F所經(jīng)過的路徑長

3

3

π．
故選B

點評：此題屬于圓綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，弧長公式，以及圓周角定理，其中根據(jù)題意得到點E從點B出發(fā)順時針運動到點D時，點F所經(jīng)過的路徑長

AO

是解本題的關(guān)鍵．