Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC，B（-2，0），，tan∠CAO=，
（1）求直線AC的解析式；
（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以5個(gè)單位/秒的速度沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，過P作PQ⊥AC，垂足為Q，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，線段CQ長為y，求y與t的函數(shù)關(guān)系式；（并直接寫出時(shí)間t的取值范圍）
（3）在（2）的條件下，連接OQ，將△COQ沿著直線OQ折疊，得到△EOQ（C的對稱點(diǎn)為E），在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在EQ垂直于△ABC的一邊（AB邊除外）？若存在，求t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵tan∠CAO=，
∴設(shè)OC=4x，則OA=3x，
又∵OA=BC，
∴3x=（2+4x），
解得x=2，
∴OA=6，OC=8，
∴A（0，6），C（8，0）．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，則
b=6，8k+b=0，
∴b=6，k=-，
故直線AC的解析式為y=-x+6；

（2）在Rt△AOC中，AC=．
∵BP=5t，BC=10，∴CP=10-5t．
在Rt△CPQ中，cosC=，
∴y=QC=PC•cosC=（10-5t）=8-4t（0≤t＜2）；

（3）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，存在EQ垂直于△ABC的一邊．理由如下：
若延長EQ交BC于M，則QE=CQ=8-4t．
①若QE⊥BC，則∠QMC=90°．
QM=QC•sinC=（8-4t），MC=QC•cosC=（8-4t），
∴EM=QE+QM=（8-4t），OM=OC-MC=8-（8-4t）=+，
tanE=tanC===，
∴t=1；
②若QE⊥AC，則∠EQC=90°，
∴∠OQE=∠OQC=135°，∠OQA=45°．
作OM⊥AC于M，則OM=OC•sinC=8×=，MC=OC•cosC=×8=．
∵△OQM中，∠OMQ=90°，∠OQM=45°，
∴∠MOQ=45°，
∴MQ=OM=，
∴QC=，
∴8-4t=，
解得t=．
綜上可知，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，存在EQ垂直于△ABC的一邊（AB邊除外），此時(shí)t的值為1或．
分析：（1）先根據(jù)正切函數(shù)的定義設(shè)OC=4x，則OA=3x，再由OA=BC，列出關(guān)于x的方程，求出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式；
（2）在Rt△CPQ中，運(yùn)用余弦函數(shù)的定義求出y與t的函數(shù)關(guān)系式，并根據(jù)動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)范圍寫出時(shí)間t的取值范圍；
（3）分兩種情況討論：①Q(mào)E⊥BC，②QE⊥AC．
點(diǎn)評：本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，勾股定理，解直角三角形，以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，要注意的是（3）中，要根據(jù)E點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類求解．