在邊長為10的正方形ABCD中,以AB為直徑作半圓O,如圖①,E是半圓上一動點,過點E作EF⊥AB,垂足為F,連接DE.
(1)當DE=10時,求證:DE與圓O相切;
(2)求DE的最長距離和最短距離;
(3)如圖②,建立平面直角坐標系,當DE=10時,試求直線DE的解析式.
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分析:(1)如圖1,連接OE,OD,由題意得,DE=DA=10,利用(SSS)判定△AOD≌△EOD,從可得∠OED=∠OAD=90°即可.
(2)當點E運動到與B點重合的位置時,如圖2,DE為正方形ABCD的對角線,所以此時DE最長,利用勾股定理求得DE,證明當點E運動到線段OD與半圓O的交點處時,DE最短.然后求得DE=OD-OE即可.
(3)當點E與點A重合時,DE=DA=10,此時,直線DE的解析式為y=10;如圖4,當點E與點A不重合時,過點E作GH⊥x軸,分別交AD,x軸于點G,H,連接OE.則四邊形AFEG是矩形,且DE為圓O的切線,求證△OFE∽△DGE,利用其對應(yīng)邊成比例,設(shè)E(m,n),則有:EF=m,OF=OB-FB=5-n求得即可.
解答:證明:(1)如圖1,連接OE,OD,由題意得,
DE=DA=10,OA=OE=
1
2
AB=5
,OD為公共邊
∴△AOD≌△EOD(SSS)
∴∠OED=∠OAD=90°
∴OE⊥DE,
∴DE與圓O相切.

(2)當點E運動到與B點重合的位置時,如圖2,DE為正方形ABCD的對角線,所以此時DE最長,
有:DE=
AD2+AB2
=10
2
,
當點E運動到線段OD與半圓O的交點處時,DE最短.
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證明如下:
在半圓O上任取一個不與點E重合的點E′,連接OE′,DE′.如圖3,
在△ODE′中,∵OE′+DE′>OD即:OE′+DE′>OE+DE,
∵OE′=OE,
∴DE′>DE
∵點E′是任意一個不與點E重合的點,∴此時DE最短.
DE=OD-OE=
AD2+AO2
-OE=
102+52
-5=5
5
-5
,

(3)當點E與點A重合時,DE=DA=10,此時,直線DE的解析式為y=10;如圖4,
當點E與點A不重合時,過點E作GH⊥x軸,分別交AD,x軸于點G,H,連接OE.
則四邊形AFEG是矩形,
連接OD,
∵AD=DE,OA=OE,OD=OD,
∴△AOD≌△EOD,
∴∠OED=90°,
∴DE為圓O的切線
∴∠FEG=∠OED=90°
∴∠FEO=∠GED,精英家教網(wǎng)
又∵∠OFE=∠DGE=90°
∴△OFE∽△DGE
OF
DG
=
EF
EG
=
OE
DE
,
設(shè)E(m,n),則有:EF=m,OF=OB-FB=5-n
得:
5-n
10-m
=
m
10-n
=
5
10
,
解得:
m=4
n=2
,即:E(4,2)
又直線DE過點D(10,10),設(shè)直線DE解析式為y=kx+b,則有:
4k+b=2
10k+b=10

解得:
k=
4
3
b=-
10
3
,即:y=
4
3
x-
10
3

∴當DE=10時,直線DE的解析式為y=
4
3
x-
10
3
;
以下兩種解法涉及高中知識,僅供參考:
另解2:
(1)當點E與點A重合時,DE=DA=10,此時,直線DE的解析式為y=10;
(2)當點E與點A不重合時,tan∠ADO=
1
2
,tan∠ADE=tan2∠ADO=
2tan∠ADO
1-(tan∠ADO)2
=
4
3

設(shè)直線y=
4
3
x+b
且經(jīng)過點(10,10),代入求得b=-
10
3

所以直線DE的解析式為y=
4
3
x-
10
3

另解3:
依題意得:點O的坐標為(0,5),設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b
由點到直線的距離公式得:l=
b-5
k2+1
=5
,即(b-5)2=25(k2+1)①
直線DE過點D(10,10),得10=10k+b②
由①②解得:75k2-100k=0,解得k=0,k=
4
3

所以直線DE的解析式為:為y=
4
3
x-
10
3
點評:此題涉及到的知識點較多,有相似三角形的判定與性質(zhì),待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,勾股定理,切線的判定與性質(zhì),綜合性很強,是一道很典型的題目.
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(2)求DE的最長距離和最短距離;

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