Question

2．如圖，四邊形ABCD中，已知AB=10，CD=12，對角線BD平分∠ABC，∠ADB=45°，∠BCD=90°，則邊BC的長度為4或6．

Answer 1

分析 如圖，作輔助線；首先證明△FBD∽△GDA，進而得到DG•DF=BF•AG①；設BE=x，將①式中的線段分別用x來表示，得到關于x的方程，解方程即可解決問題．

解答 解：如圖，過點D作DE⊥AB于點E；在ED上截取EF=EB，EG=EA；
連接AG，BF；則∠BFE=∠AGE=45°，
∴∠BFD=∠DGA=135°；
∵BD平分∠ABC，且∠BCD=90°，
∴DE=DC=12，BE=BC；
∵∠FBD+∠BDF=∠BDF+∠ADG=45°，
∴∠FBD=∠GDA；
∴△FBD∽△GDA，
∴$\frac{BF}{DG}$=$\frac{DF}{AG}$，即DG•DF=BF•AG；
設BE=x，則DF=12-x，EG=EA=10-x；
BF=$\sqrt{2}$x，AG=$\sqrt{2}$EG=$\sqrt{2}$（10-x），
∴（x+2）（12-x）=$\sqrt{2}$（10-x）$\sqrt{2}$x，
整理得：x²-10x+24=0，
解得：x=4或6，
即邊BC的長度為4或6．
故答案為：4或6．

點評 此題主要考查了相似三角形的判定及其性質的應用問題，解題的關鍵是作輔助線，構造相似三角形；靈活運用有關定理來分析、判斷、解答是關鍵．