Question

已知平面直角坐標系xOy，拋物線y=-x²+bx+c過點A（4，0）、B（1，3）．
（1）求該拋物線的表達式，并寫出該拋物線的對稱軸和頂點坐標；
（2）記該拋物線的對稱軸為直線l，設拋物線上的點P（m，n）在第四象限，點P關于直線l的對稱點為E，點E關于y軸的對稱點為F，若四邊形OAPF的面積為20，求m、n的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A、B的坐標代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數的值；將所求得的二次函數解析式化為頂點式，即可得到其對稱軸方程及頂點坐標；
（2）首先根據拋物線的對稱軸方程求出E點的坐標，進而可得到F點的坐標，由此可求出PF的長，即可判斷出四邊形OAPF的形狀，然后根據其面積求出n的值，再代入拋物線的解析式中即可求出m的值．
解答：解：（1）將A（4，0）、B（1，3）兩點坐標代入拋物線的方程得：，
解之得：b=4，c=0；
所以拋物線的表達式為：y=-x²+4x，
將拋物線的表達式配方得：y=-x²+4x=-（x-2）²+4，
所以對稱軸直線為直線x=2，頂點坐標為（2，4）；

（2）點P（m，n）關于直線x=2的對稱點坐標為點E（4-m，n），
則點E關于y軸對稱點為點F坐標為（m-4，n），
則FP=OA=4，即FP、OA平行且相等，
所以四邊形OAPF是平行四邊形；
S=OA•|n|=20，即|n|=5；
因為點P為第四象限的點，
所以n＜0，
所以n=-5；
代入拋物線方程得m=-1（舍去）或m=5，
故m=5，n=-5．
點評：此題考查了二次函數解析式的確定、軸對稱的性質以及圖形面積的求法，難度適中．