Question

如圖，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分別為點B、C，且AB=4，DC=1，BC=4．
（1）求AD的長．
（2）P在線段BC上，以每秒1個單位沿BC方向運動，是否存在AP⊥PD？若存在，則幾秒后使得AP⊥PD？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過D作DE⊥AB于E，由已知數(shù)據(jù)和勾股定理即可求出AD的長；
（2）△ABP∽△PCD得出∠BPA+∠DPC=90°，即∠APD=90°，求出BP的長，進而求出時間．

解答：解：（1）過D作DE⊥AB于E，
由題意可知：四邊形EBCD為矩形，
∴BE=CD，DE=BC，
∵AB=4，DC=1，BC=4，
∴AE=AB-BE=4-1=3，DE=4，
∴AD=

AE 2+DE 2

=5；
（2）解：存在．
如圖所示，AP⊥PD，
∴∠APD=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
又DC⊥BC，∴∠DCP=90°，
∴∠PDC+∠DPC=90°，
∴∠APB=∠PDC，
∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD，
設BP=x，則CP=4-x，
∴4：（4-x）=x：1，
得出x=2，即BP=2，
∴t=

2

1

=2秒后使得AP⊥PD．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)和勾股定理的運用以及相似三角形的判定和相似三角形的性質(zhì)和中考題中常見的存在性問題．