Question

10．已知：如圖，△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，∠BCA的平分線與AB邊的垂直平分線相交于點D，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別是E、F．
（1）求證：AE=BF；
（2）求AE的長；
（3）求線段DG的長．

Answer 1

分析 （1）欲證明AE=BF只要證明△DEA≌△DFB即可．
（2）根據(jù)CE=CF，設(shè)AE=BF=x，列出方程即可．
（3）先證明∠EDF=90°，再證明∠ADB=∠EDF=90°，利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可解決．

解答 （1）證明：如圖連接AD、BD．
∵∠DCE=∠DCB，DE⊥CA，DF⊥CB，
∴DE=DF，∠AED=∠DFB=90°，
∵DG垂直平分AB，
∴DA=DB，
在RT△DEA和RT△DFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{DA=DB}\end{array}\right.$，
∴△DEA≌△DFB，
∴AE=BF．
（2）設(shè)AE=BF=x，
在RT△CDE和RT△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△CDF，
∴CE=CF，
∴6+x=8-x，
∴x=1，
∴AE=1．
（3）∵△DEA≌△DFB，
∴∠ADE=∠BDF，
∴∠EDF=∠ADB，
∵AC²+BC²=AB²，
∴∠ACB=90°，
∵∠CED=∠CFD=∠ECF=90°，
∴∠EDF=90°，
∴∠ADB=90°，
∵AG=GB，
∴DG=$\frac{1}{2}$AB=5．

點評 本題考查全等三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理的逆定理等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，學(xué)會用方程的思想思考問題，屬于中考�？碱}型．