Question

6．己知：在四邊形ABCD中，G、H分別是AD、BC的中點(diǎn)，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E、F．
（1）如圖1，若四邊形ABCD為平行四邊形，求證：四邊形GEHF是平行四邊形．
（2）如圖2，若四邊形ABCD為矩形，設(shè)$\frac{AD}{AB}$=n．請(qǐng)你給出一個(gè)n的值，使四邊形GEHF為矩形，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形斜邊中線定理只要證明EG=HF，EG∥FH即可．
（2）結(jié)論n=$\sqrt{3}$，如圖2中，連接GH，交BD于O，連接AO，先證明△ABO是等邊三角形，再證明AB=EF，GH=AB，得EF=HG，即可證明．

解答 （1）證明：如圖1中，∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB=90°，
∵AG=GD，BH=CH，
∴EG=$\frac{1}{2}$AD，HF=$\frac{1}{2}$BC，
∴∠GDE=∠GED，∠HBF=∠HFB，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠GDE=∠HBF，
∴EG=FH，∠GEF=∠HFE，
∴EG∥HF，
∴四邊形GEHF是平行四邊形．
（2）當(dāng)n=$\sqrt{3}$時(shí)，四邊形GEHF為矩形．
證明：如圖2中，連接GH，交BD于O，連接AO．
由（1）可知，四邊形GEHF是平行四邊形，
∴OE=OF，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵tan∠ABD=$\frac{AD}{AB}$=$\sqrt{3}$，
∴∠ABD=60°，∠ADB=30°，
∵AE⊥BD，
∴∠AED=90°，∠EAD=60°，∠BAE=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB，同理DF=$\frac{1}{2}$CD，
∵AB=CD，
∴BE=DF，BO=OD，
∴AO=BO=DO，
∵∠ABD=60°，
∴△ABO是等邊三角形，
∴AB=AO，∵AE⊥BO，
∴BE=EO，
∴EF=2BE=AB，
∵AG∥BH，AG=BH，
∴四邊形ABHG是平行四邊形，
∴AB=GH=EF，∵四邊形GEHF是平行四邊形，
∴四邊形GEHF是矩形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線定理、等邊三角形的判定等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．