Question

已知：平行四邊形ABCD，以AB為直徑的⊙O交對角線BD于P，交邊BC于Q，連接AQ交BD于E，若BP=PD，
（1）判斷平行四邊形ABCD是何種特殊平行四邊形，并說明理由；
（2）若AE=4，EQ=2，求：四邊形AQCD的面積．

Answer 1

解：（1）菱形．
證明：連接AP
∵AB是⊙O的直徑
∴∠APB=90°
即AP⊥BP
又∵BP=PD
∴AB=AD
∴平行四邊形ABCD是菱形；

（2）∵BE是∠ABQ的角平分線
∴==2
∵AB是⊙O的直徑
∴∠AQB=90°
設BQ=x，則AB=2x
∵AQ=6
∴（2x）²=x²+36
∴x=2
∴BC=AD=4
∴CQ=2
∴四邊形AQCD的面積是（4+2）×6=18．
分析：（1）只要證明AP是BD的垂直平分線即可．
（2）已知AE=4，EQ=2，根據三角形的角平分線的性質定理，就可以求出菱形的邊長，則問題就很容易解決．
點評：本題主要運用了直徑所對的圓周角是直角，以及三角形的角平分線的性質定理．