Question

將一塊足夠大的三角形板，其直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)A（3，2），兩直角邊分別交x軸、y軸于點(diǎn)B，C．設(shè)B（t，0）．

（1）如圖1，當(dāng)t=3時(shí)，求線段BC的長；
（2）如圖2，點(diǎn)B，C分別在x軸，y軸的正半軸上，設(shè)△BOC的面積為S，試求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；
（3）取BC的中點(diǎn)D，過點(diǎn)D作y軸的垂線與直線AC交于點(diǎn)E，△CDE能否成為等腰三角形？若能，請求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）利用兩點(diǎn)間的距離公式求得BC的長度即可；
（2）如圖2，過A作AH⊥x軸與H，AP⊥y軸于P，構(gòu)建相似三角形：△ABH∽△ACP，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得CP的長度，則OC=OP+CP；然后由三角形的面積公式進(jìn)行解答即可；
（3）需要分類討論：①當(dāng)0＜t＜3時(shí)，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，△CDE為等腰三角形，即直線DE經(jīng)過點(diǎn)A；
②當(dāng)3＜t＜

13

3

時(shí)，設(shè)CD=CE，過A作AM⊥y軸，構(gòu)建相似三角形：△AMC∽△DHC，利用相似三角形的性質(zhì)來求t的值；
③當(dāng)t＞

13

3

時(shí)，∠CED為鈍角，設(shè)CE=DE．易證△OCF≌△ABF，則該全等三角形的對應(yīng)邊相等，則利用勾股定理列出關(guān)于t的方程，通過解方程來求t的值；
④如圖5，當(dāng)t＜0時(shí)，利用等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答．

解答：（1）∵點(diǎn)A（3，2），
∴AC=3，AB=2，
∴BC=

AB2+AC2

=

22+32

=

13

；
∴線段BC的長是

13

；

（2）如圖2，過A作AH⊥x軸與H，AP⊥y軸于P，易證△ABH∽△ACP，
∴

AH

BH

=

AP

CP

  即 

2

3-t

=

3

CP

或　

2

t-3

=

3

CP

，
∴CP=

9-3t

2

 或 CP=

3t-9

2

∴OC=

13-3t

2

∴S=

1

2

•t•

13-3t

2

=-

3

4

t²+

13

4

t
當(dāng)t=

13

6

時(shí)，S_最大=

169

48

（3）①當(dāng)0＜t＜3時(shí)，
當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，△CDE為等腰三角形，即直線DE經(jīng)過點(diǎn)A．
∴

13-3t

4

=2，
∴t=

5

3

，
∴B（ 

5

3

，0）；
②如圖3，當(dāng)3＜t＜

13

3

時(shí)，設(shè)CD=CE，過A作AM⊥y軸，
易證△AMC∽△DHC，
∴

HD

HC

=

AM

MC

，
∴

t 2

13-3t 4

=

3

2- 13-3t 2

∴t=±

13

，
∴B（

13

，0）；

③如圖4，當(dāng)t＞

13

3

時(shí)，∠CED為鈍角，設(shè)CE=DE．
∴CF=BF，
易證△OCF≌△ABF，
∴OC=AB．
∴（

13-3t

2

）²=（t-3）²+2²
解得t₁=3 （舍去），t₂=7.8，
∴B （7.8，0）
④如圖5，當(dāng)t＜0時(shí)，可求得OF=

3t-13

t-3

，
當(dāng)CD=CE時(shí)，
∴CB=CF，
∴OB=OF
∴

3t-13

t-3

=-t，
解得t=±

13

，
∴B （-

13

，0），
又由①可知，當(dāng)B（ 

5

3

，0）時(shí)，AF=AC．當(dāng)點(diǎn)B向左運(yùn)動時(shí)，AC逐漸增大同時(shí)AF逐漸減小，
∴當(dāng)t＜0時(shí)不存在BC=BF的情形，即不存在CD=DE的情形；
若CE=DE，則CF=BF，
易證△COF≌△BAF，
∴AB=OC，
∴（

13-3t

2

）²=（t-3）²+2²，
解得t₁=3 （舍去），t₂=7.8 （舍去）．
綜上所述，存在點(diǎn)B使△DCE為等腰三角形，此時(shí)B點(diǎn)坐標(biāo)為：B₁（ 

5

3

，0）；B₂（ 

13

，0）；B₃ （7.8，0）； B₄（-

13

，0）．

點(diǎn)評：此題考查了相似形的綜合題．涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，是一道探究型題．