Question

8．已知：如圖，分別以△ABC的邊AB、AC為邊長(zhǎng)向△ABC外作正方形ABEF和正方形ACNM，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，連接AD、FM．
（1）求證：FM=2AD；
（2）若AB=6，AC=8，∠BAC=60°，求多邊形BCNMFE的面積．

Answer 1

分析 在AD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)K，使AD=DK，連接BK、CK，則四邊形ABDC是平行四邊形ABNC，得到CK=AB，∠BAC+∠ACK=180°，根據(jù)四邊形ABEF、ACNM是正方形，易證AF=AB=CK，AM=AC，∠FAM=∠ACK，根據(jù)SAS證明△ACK≌△AMF即可證明FM=AK=2AD．

解答 證明：在AD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)K，使AD=DK，連接BK、CK，
∵D是BC的中點(diǎn)，AD=DK，
∴四邊形ABKC是平行四邊形ABNC，
∴CK=AB，∠BAC+∠ACK=180°，
∵四邊形ABEF、ACNM是正方形，
∴AF=AB，AM=AC，∠BAF=∠CAM=90°，
∴AF=CK，∠BAC+∠FAM=360°-∠BAF-∠CAM=180°，
∴∠FAM=∠ACK，
在△ACK和△AMF中，
 $\left\{\begin{array}{l}{AF=CK}\\{∠FAM=∠ACK}\\{AM=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACK≌△AMF，
∴FM=AK，
∵AK=AD+DK=2AD，
∴FM=2AD．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造全等三角形和平行四邊形是解決問題的關(guān)鍵．