Question

15．如圖，x軸上兩個點A（-4，0），B（2，0），直線l經(jīng)過點E（4，0），M為直線l上的動點，當以A、B、M為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，求直線l的解析式．

Answer 1

分析 本問關鍵是理解“以A、B、M為頂點所作的直角三角形有且只有三個”的含義．因為過A、B點作x軸的垂線，其與直線l的兩個交點均可以與A、B點構(gòu)成直角三角形，這樣已經(jīng)有符合題意的兩個直角三角形；第三個直角三角形從直線與圓的位置關系方面考慮，以AB為直徑作圓，當直線與圓相切時，根據(jù)圓周角定理，切點與A、B點構(gòu)成直角三角形．從而問題得解．

解答 解：以AB為直徑作⊙F，圓心為F．過E點作⊙F的切線，這樣的切線有2條．
連接FM，過M作MN⊥x軸于點N．
∵A（-4，0），B（2，0），∴F（-1，0），⊙F半徑FM=FB=3．
又FE=5，則在Rt△MEF中，
ME=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，sin∠MFE=$\frac{4}{5}$，cos∠MFE=$\frac{3}{5}$．
在Rt△FMN中，MN=MF•sin∠MFE=3×$\frac{4}{5}$=12$\frac{12}{5}$，
FN=MF•cos∠MFE=3×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{5}$，則ON=$\frac{4}{5}$，
∴M點坐標為（$\frac{4}{5}$，$\frac{12}{5}$）
直線l過M（$\frac{4}{5}$，$\frac{12}{5}$），E（4，0），
設直線l的解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{5}k+b=\frac{12}{5}}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
所以直線l的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+3．
同理，可以求得另一條切線的解析式為y=$\frac{3}{4}$x-3．
綜上所述，直線l的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+3或y=$\frac{3}{4}$x-3

點評 本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了切線的性質(zhì)，勾股定理的應用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等，理解“以A、B、M為頂點所作的直角三角形有且只有三個”的含義是解題的關鍵．