Question

關于x的二次函數(shù)y＝－x²＋(k²－4)x＋2k－2以y軸為對稱軸，且與y軸的交點在x軸上方．

(1)求此拋物線的解析式，并在直角坐標系中畫出函數(shù)的草圖；

(2)設A是y軸右側(cè)拋物線上的一個動點，過點A作AB垂直x軸于點B，再過點A作x軸的平行線交拋物線于點D，過D點作DC垂直x軸于點C, 得到矩形ABCD．設矩形ABCD的周長為l，點A的橫坐標為x，試求l關于x的函數(shù)關系式；

(3)當點A在y軸右側(cè)的拋物線上運動時，矩形ABCD能否成為正方形．若能，請求出此時正方形的周長；若不能，請說明理由．

Answer 1

解：(1)根據(jù)題意得：k²－4＝0

∴k＝±2                     

當k＝2時，2k－2＝2＞0

當k＝－2時，2k－2＝－6＜0

又拋物線與y軸的交點在x軸上方

∴k＝2                        

∴拋物線的解析式為：y＝－x²＋2      

函數(shù)的草圖如圖所示：         

(2)令－x²＋2＝0，得x＝±

當0＜x＜時，A₁D₁＝2x，A₁B₁＝－x²＋2

∴l(xiāng)＝2(A₁B₁＋A₁D₁)＝－2x²＋4x＋4

當x＞時，A₂D₂＝2x

A₂B₂＝－(－x²＋2)＝x²－2       

∴l(xiāng)＝2(A₂B₂＋A₂D₂)＝2x²＋4x－4 

∴l(xiāng)關于x的函數(shù)關系式是：

         

(3)解法①：當0＜x＜時，令A₁B₁＝A₁D₁

得x²＋2x－2＝0

解得x＝－1－(舍)，或x＝－1＋

將x＝－1＋代入l＝－2x²＋4x＋4

得l＝8－8                 

當x＞時，A₂B₂＝A₂D₂

得x²－2x－2＝0

解得x＝1－(舍)，或x＝1＋            

將x＝1＋代入l＝2x²＋4x－4

得l＝8＋8                         

綜上所述，矩形ABCD能成為正方形，且

當x＝－1＋時，正方形的周長為8－8；

當x＝1＋時，正方形的周長為8＋8．     

解法②：當0＜x＜時，同“解法①”可得x＝－1＋

∴正方形的周長l＝4A₁D₁＝8x＝8－8

當x＞時，同“解法①”可得x＝1＋

∴正方形的周長l＝4A₂D₂＝8x＝8＋8

綜上所述，矩形ABCD能成為正方形，且

當x＝－1＋時，正方形的周長為8－8；

當x＝1＋時，正方形的周長為8＋8．

解法③：∵點A在y軸右側(cè)的拋物線上

∴當x＞0時，且點A的坐標為(x，－x²＋2)

令AB＝AD，則＝2x

∴－x²＋2＝2x                                      ①

或－x²＋2＝－2x                                    ②

由①解得x＝－1－(舍)，或x＝－1＋

由②解得x＝1－(舍)，或x＝1＋

又l＝8x

∴當x＝－1＋時，l＝8－8；

當x＝1＋時，l＝8＋8

綜上所述，矩形ABCD能成為正方形，且

當x＝－1＋時，正方形的周長為8－8；

當x＝1＋時，正方形的周長為8＋8．