Question

如圖①，②，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A的坐標(biāo)為（4，0），以點A為圓心，4為半徑的圓與x軸交于O，B兩點，OC為弦，∠AOC=60°，P是x軸上的一動點，連接CP．

（1）求∠OAC的度數(shù)；

（2）p點在x軸上運動，當(dāng)p點在x軸的負(fù)半軸上，且PO=4時，連結(jié)CP，請試猜想PC與⊙D的位置關(guān)系，并說明理由.

（3）如圖②，當(dāng)點P在直徑OB上時，CP的延長線與⊙A相交于點Q，問PO為何值時，△OCQ是等腰三角形？

Answer 1

解：（1）∵∠AOC=60°，AO=AC，

△AOC是等邊三角形，

∴∠OAC=60°．       …………………………………………3分

（2）∵CP與⊙A相切，…………………………………………4分

             證明略   …………………………………………7分

（3）①過點C作CP₁⊥OB，垂足為P₁，延長CP₁交⊙A于Q₁；

∵OA是半徑，

∴弧OC=弧OQ₁

∴OC=OQ₁，

∴△OCQ₁是等腰三角形；

又∵△AOC是等邊三角形，

∴P₁O= OA=2 ………………………………………………9分

②過A作AD⊥OC，垂足為D，延長DA交⊙A于Q₂，CQ₂與x軸交于P₂；

∵A是圓心，

∴DQ₂是OC的垂直平分線，

∴CQ₂=OQ₂，

∴△OCQ₂是等腰三角形；

過點Q₂作Q₂E⊥x軸于E，

在Rt△AQ₂E中，

∵∠Q₂AE=∠OAD=∠OAC=30°，

∴Q₂E= AQ₂=2，AE=2，

∴點Q₂的坐標(biāo)（4+2，-2）          ……………………………………11分

在Rt△COP₁中，

∵P₁O=2，∠AOC=60°，

∴CP₁=2，

∴C點坐標(biāo)（2，2）；

設(shè)直線CQ₂的關(guān)系式為y=kx+b，則

解得

∴y=-x+2+2

當(dāng)y=0時，x=2+2

∴P₂O=2+2 ……………………………………14分