Question

12．如圖，平面直角坐標(biāo)系中三點(diǎn)A（3，0），B（0，2），P（x，0）（x＜0），連結(jié)BP，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥PB交過(guò)點(diǎn)A的直線x=3于點(diǎn)C（3，y）
（1）試把y用含x的代數(shù)式來(lái)表示；
（2）當(dāng)x=-1時(shí)，求BC與PA的交點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）證得△BPO∽△PCA，可得出關(guān)于OB、OP、PA、AC的比例關(guān)系式，由此可得出關(guān)于x，y的函數(shù)關(guān)系式．（要注意P點(diǎn)的橫坐標(biāo)和C點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是負(fù)數(shù)）．
（2）根據(jù)（1）得出的函數(shù)解析式即可得出x的最大整數(shù)值，代入拋物線的解析式中即可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)B、C的坐標(biāo)，求出直線BC的解析式，即可求出直線BC與x軸交點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵PC⊥PB，BO⊥PO
∴∠CPA+∠OPB=90°，∠PBO+∠OPB=90°
∴∠CPA=∠PBO
∵A（2，0），C（2，y）在直線x=3上
∴∠BOP=∠PAC=90°
∴△BOP∽△PAC
∴$\frac{PO}{AC}$=$\frac{BO}{PA}$，
∴$\frac{|x|}{|y|}$=$\frac{2}{3+|x|}$，
∵x＜0，y＜0，
∴$\frac{x}{y}$=$\frac{2}{3-x}$
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x．

（2）當(dāng)x=-1時(shí)，y=-2，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，-2）；
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+2，將C點(diǎn)坐標(biāo)代入后可得：
3k+2=-2，k=-$\frac{4}{3}$，
因此直線BC的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+2．
當(dāng)y=0時(shí)，0=-$\frac{4}{3}$x+2，x=$\frac{3}{2}$．
因此Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次計(jì)算圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等．考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．