Question

設(shè)D是△ABC的邊BC上的一點(diǎn)，點(diǎn)P在線(xiàn)段AD上，過(guò)點(diǎn)D作一直線(xiàn)分別與線(xiàn)段AB、PB交于點(diǎn)M、E，與線(xiàn)段AC、PC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F、N．如果DE=DF，求證：DM=DN．

Answer 1

考點(diǎn)：梅涅勞斯定理與賽瓦定理

專(zhuān)題：

分析：對(duì)于三個(gè)不同的三角形和對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)，應(yīng)用梅涅勞斯定理，得到相應(yīng)的三組線(xiàn)段之間比值的乘積是1，把三組比值的乘積相乘，約分整理，得到

DE

EM

•

FN

ND

•

MD

DF

=1，根據(jù)DE=DF，約分得到最簡(jiǎn)形式，得到結(jié)果．

解答：證明：對(duì)△AMD和直線(xiàn)BEP用梅涅勞斯定理得：

AP

PD

•

DE

EM

•

MB

BA

=1（1）
對(duì)△AFD和直線(xiàn)NCP用梅涅勞斯定理得：

AC

CF

•

FN

ND

•

DP

PA

=1（2），
對(duì)△AMF和直線(xiàn)BDC用梅涅勞斯定理得：

AB

BM

•

MD

DF

•

FC

CA

=1（3），
（1）（2）（3）式相乘得：

DE

EM

•

FN

ND

•

MD

DF

=1，
又∵DE=DF，
∴

FN•MD

EM•ND

=1，
∴

DM

EM

=

DN

FN

，
∴

DM

DM-DE

=

DN

DN-DE

，
所以DM=DN．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了梅涅勞斯定理、等量代換、整理比較麻煩的比例式時(shí)的方法，是一個(gè)基礎(chǔ)題，題目的運(yùn)算量比較大，是一個(gè)不常見(jiàn)到的題目．