Question

在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點M在AB邊上，點N在AC邊上，并且∠MDN=90°．如果BM²+CN²=DM²+DN²，求證：AD²=

1

4

（AB²+AC²）．

Answer 1

分析：添加AC的平行線，將BC的以D為中點的性質傳遞給EN，即ED=DN，得△BED≌△CND，則BE=NC；再由中垂線的性質得EM=MN，所以BM²+BE²=BM²+NC²=MD²+DN²=MN²=EM²，可得△BEM為直角三角形，即可求證．

解答：證明：如圖，過點B作AC的平行線交ND的延長線于E，連ME．
∵BD=DC，
∴ED=DN．
在△BED與△CND中，
∵

BD=DC ∠BDE=∠CDN ED=DN

∴△BED≌△CND（SAS）．
∴BE=NC．
∵∠MDN=90°，
∴MD為EN的中垂線．
∴EM=MN．
∴BM²+BE²=BM²+NC²=MD²+DN²=MN²=EM²，
∴△BEM為直角三角形，∠MBE=90°．
∴∠ABC+∠ACB=∠ABC+∠EBC=90°．
∴∠BAC=90°．
∴AD²=(

1

2

BC)2=

1

4

（AB²+AC²）．

點評：此題考查了勾股定理的逆定理、線段的垂直平分線、三角形全等的判定，作輔助線是關鍵．