Question

已知：如圖，有一塊含30°的直角三角板OAB的直角邊長(zhǎng)BO的長(zhǎng)恰與另一塊等腰直角三角板ODC的斜邊OC的長(zhǎng)相等，把該套三角板放置在平面直角坐標(biāo)系中，且AB=3．
（1）若雙曲線的一個(gè)分支恰好經(jīng)過點(diǎn)A，求雙曲線的解析式；
（2）若把含30°的直角三角板繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后，斜邊OA恰好與x軸重疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'，試求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．

Answer 1

解：（1 ）在Rt △OBA 中，∠AOB=30 °，AB=3 ，cot ∠AOB=，
∴OB=ABcot30°=3，∴點(diǎn)A（3，3）．
設(shè)雙曲線的解析式為y=（k≠0）．∴3=，k=9．
則雙曲線的解析式為y=．
（2）在Rt△OBA中，∠AOB=30°，AB=3，sin∠AOB=，sin30°=，
∴OA=6．
由題意得：∠AOC=60°，
S_{扇形AOA ′}=．
在Rt△OCD中，∠DOC=45°，OC=OB=3，
∴OD=OCcos45°=3．
∴S_△ODC=．
∴S_陰影=S_扇形AOA′﹣S_△ODC=6π﹣．