Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=BC=2AD，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥CD于點(diǎn)G，延長(zhǎng)EG、AD相交于點(diǎn)F，連接BG．
（1）求證：EF=CD；
（2）求證：∠F=∠BGE．

Answer 1

證明：（1）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于H，則∠DHB=∠ABC=∠A=90°，ABHD為矩形，
從而可得：AD=BH，AB=DH，
∵AB=BC=2AD，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，
∴AE=BE=AB=BC=AD=BH，
∴AE=CH，
∵EG⊥CD，
∴∠DGF=∠HDF=90°，
∴∠1+∠2=∠2+∠F=90°，
∴∠1=∠F，
在△AEF和△HCD中，
∵，
∴△AEF≌△HCD（AAS），
∴EF=CD；

（2）延長(zhǎng)FE、CB交于點(diǎn)M，
∵AD∥BC，
∴∠F=∠M，
在△AEF和△BME中，
∵，
∴△AEF≌△BME（AAS），
∴AF=BM=BC，
∵EG⊥CD，
∴BG=CM=BM，
∴∠M=∠BGE=∠F．
分析：（1）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于H，先得出AE=CH，然后證明∠1=∠F，證明△AEF≌△HCD可得出結(jié)論；
（2）延長(zhǎng)FE、CB交于點(diǎn)M，證明△AEF≌△BME，得出AF=BM=BC，結(jié)合EG⊥CD，可得出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了梯形、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理及全等三角形的性質(zhì)．