Question

如圖15.1，已知拋物線C經(jīng)過原點，對稱軸x=-3與拋物線相交于第三象限的點M，與x軸相交于點N，且tan∠MON = 3.

(1)求拋物線C的解析式；

(2)將拋物線C繞原點O旋轉(zhuǎn)180º得到拋物線C’，拋物線C’與x軸的另一交點為A，B為拋物線C’上橫向坐標為2的點. www.12999.com

①若P為線段AB上一動點，PD⊥y軸于點D，求△APD面積的最大值；

②過線段OA上的兩點E、F分別作x軸的垂線，交折線 O –B -A于點E₁、F₁，再分別以線段EE₁、FF₁為邊作如圖15.2所示的等邊△EE₁E₂、等邊△FF₁F₂,點E以每秒1個單位長度的速度從點O向點A運動，點F以每秒1個單位長度的速度從點A向點O運動，當△EE₁E₂有一邊與△FF₁F₂的某一邊在同一直線上時，求時間t的值.

Answer 1

解：（1）對稱軸MN的解析式為x =-3, ON=3,tan∠MON = 3 ,MN=9,M（-3，-9），

令拋物線C的解析式為y=a(x+3)2-9，它經(jīng)過原點，則0=a(0+3)2-9, a=1,

y=1(x+3)2-9=x2+6x ，所以拋物線C的解析式為y=x2+6x；

（2）①拋物線C’的解析式為

y=- x2+6x，當y=0時，x=0或6，點A的坐標為（6，0）， 點B在拋物線C’上，且其橫坐標為2，y=8,有點B（2，8），直線AB的解析式為

y=-2x +12 ,點P在線段AB上，令點P的坐標為（p,-2p+12）,

 S△APD = 12p(-2p+12)=- p2+6p =-(p-3)2+9,當p=3（2<3<8）時，

S△APD 的max值為9；

② 據(jù)（2）①知，直線OB解析式為y=4x,

直線AB解析式為y=-2x +12；

如圖15.3, ∵EE1//FF1, △EE1E2、△FF1F2是等邊三角形，∴E1E2//FF2，EE2//F1F2，

直線EE1的解析式為x=t,直線FF1的解析式為x=6-t,令E1 (t,y)則有E（t,0）、

E2 (t+ 32,y2)，設(shè)直線EE2的解析式為

y=33x + a,直線F1F2的解析式為y= 33x + b,直線E1E2的解析式

為y=- 33x + c,直線FF2的解析式為y=- 33x + d，

Ⅰ、當EE1與FF1在同一直線上時，x=t=6-t，t=3 ；

Ⅱ、當0≤t≤2時，點E1在直線OB上，點F1在直線AB上，有E（t,0）、E1 (t,4t)、F (6-t,0)、F1（6-t,2t）

(a)當EE2與F1F2在同一直線上時，有0 = 33t + a，a=- 33t,

2t= 33(6-t) + b, b= (2+ 33)t-23, a=b, - 33t=(2+ 33)t-23,

t= 32；新 課 標 第 一 網(wǎng)

(b) 當E1E2與FF2在同一直線上時，有4t=- 33t + c，c=(4+ 33)t,

0=- 33(6-t) + d, d=23- 33t, c=d, (4+ 33)t = 2 3- 33t,

t= 311；

通過作圖觀察可知，當2<t≤6時，EE1與FF1不可能在同一直線上，E1E2與FF2也不可能在同一直線上。

綜上所述，當△EE1E2有一邊與△FF1F2的某一邊在同一直線上時，t的值為3，32或 311.