Question

已知如圖∠AOB=45°，OP=1，在OA、OB上任取兩點(diǎn)M、N，得△PMN，求△PMN周長(zhǎng)的最小值是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題

專題：

分析：作P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)C，D．連接OC，OD．則當(dāng)M，N是CD與OA，OB的交點(diǎn)時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)最短，最短的值是CD的長(zhǎng)．根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可以證得：△COD是等腰直角三角形，據(jù)此即可求解．

解答：解：作P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)C，D．連接OC，OD．則當(dāng)M，N是CD與OA，OB的交點(diǎn)時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)最短，最短的值是CD的長(zhǎng)．
∵PC關(guān)于OA對(duì)稱，
∴∠COP=2∠AOP，OC=OP，
同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD，
∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．
∴△COD是等腰直角三角形，
∴CD=

2

OC=

2

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故答案為：

2

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點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是正確作出圖形，理解△PMN周長(zhǎng)最小的條件是解題的關(guān)鍵．