Question

知識背景：某紙箱廠要做一種雙層上蓋的長方體紙箱（如紙箱示意圖所示），因此做成后其上蓋所需紙板面積剛好等于底面面積的2倍．

（1）實際運用：如果要求紙箱的高為0.5米，底面是寬與長的比為3：5的長方形，體積為0.3立方米．
①按方案1（如圖）做一個紙箱，需要矩形硬紙板A₁B₁C₁D₁的面積是多少平方米？
②小明認為，如果從節(jié)省材料的角度考慮，采用方案2（如圖）的菱形硬紙板A₂B₂C₂D₂做一個紙箱比方案1更優(yōu)，你認為呢？請說明理由．
（2）拓展思維：某客商覺得這種規(guī)格的紙箱體積太大，搬運吃力，要求將紙箱的底面周長、底面面積和高都設(shè)計為原來的一半，你認為該客商的要求能辦到嗎？請說明理由．

Answer 1

解：（1）①∵紙箱的高為0.5米，底面是黃金矩形（寬與長的比是黃金比，取黃金比為0.6），體積為0.3立方米，
∴假設(shè)底面長為x，寬就為0.6x，
∴體積為：0.6x•x•0.5=0.3，
解得：x=1，
∴AD=1，CD=0.6，
DW=KA=DT=JC=0.5，F(xiàn)T=JH=CD=0.3，
WQ=MK=AD=，
∴QM=+0.5+1+0.5+=3，
FH=0.3+0.5+0.6+0.5+0.3=2.2，
∴矩形硬紙板A₁B₁C₁D₁的面積是3×2.2=6.6平方米；
②從節(jié)省材料的角度考慮，采用方案2（如圖）的菱形硬紙板A₂B₂C₂D₂做一個紙箱比方案1更優(yōu)，
∵如圖可知△MAE，△NBG，△HCF，△FDQ面積相等，且和為2個矩形FDQD₁，
又∵菱形的性質(zhì)得出，對角線分別等于矩形的長與寬的菱形的面積小于矩形的面積；
∴從節(jié)省材料的角度考慮，采用方案2（如圖）的菱形硬紙板A₂B₂C₂D₂做一個紙箱比方案1更優(yōu)，

（2）∵將紙箱的底面周長、底面面積和高都設(shè)計為原來的一半時，
∴邊長為：0.5，0.3，底面積將變?yōu)椋?.3×0.5=0.15，
將變?yōu)樵瓉淼?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/96.png' />，高再變?yōu)樵瓉淼囊话霑r，體積將變?yōu)樵瓉淼?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/112.png' />，
∴水果商的要求不能辦到．
分析：（1）①利用寬與長的比是黃金比，取黃金比為0.6，假設(shè)底面長為x，寬就為0.6x，再利用圖形得出QM=+0.5+1+0.5+=3，F(xiàn)H=0.3+0.5+0.6+0.5+0.3=2.2，進而求出即可；
②根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，對角線乘積的一半絕對小于矩形邊長乘積即可得出答案；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)面積比等于相似比的平方得出即可．
點評：此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用以及正方形性質(zhì)與菱形性質(zhì)等知識，根據(jù)題意得出DW=KA=DT=JC=0.5，F(xiàn)T=JH=12CD=0.3，WQ=MK=12AD=12是解決問題的關(guān)鍵．