Question

已知△ABC中，AC=4，BC=5，AB=6．
（1）如圖，點(diǎn)D為邊AC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AB上，且△ADE與△ABC相似．
①請?jiān)趫D中畫出所有符合題意的△ADE（不必尺規(guī)作圖）；
②若AD=m，試用m的代數(shù)式表示AE的長；
（2）點(diǎn)M、N分別在邊AB、BC上，且△BMN與△ABC相似，若AM=x，試求當(dāng)符合題意的△BMN唯一時(shí)，x的取值范圍（請寫出必要的解題過程）．

Answer 1

分析：（1）①過點(diǎn)D作BC的平行線，∠AED=∠ABC，做∠AED=∠ACB，這兩種情況．
②利用相似三角形對應(yīng)邊成比例，將AD=m代入即可．
（2）當(dāng)MN∥AC時(shí)，△BMN與△ABC相似總是存立，只要求出點(diǎn)N與點(diǎn)C重合，且△BMN∽△BCA時(shí)AM的長即可，當(dāng)△BMN∽△BCA（N與C重合）時(shí)，有∠BMC=∠ACB，當(dāng)符合題意的△BMN唯一時(shí)，x的取值范圍是0≤x＜

11

6

．

解答：解：（1）①如圖所示
，
②情況一：∵△AED∽△ABC，且∠AED=∠ABC，
∴

AE

AB

=

AD

AC

，
∴AE=

3

2

m；（1分）
情況二：∵△ADE∽△ABC，且∠AED=∠ACB，
∴

AE

AC

=

AD

AB

，
∴AE=

2

3

m；（1分）

（2）∵當(dāng)MN∥AC時(shí)，△BMN與△ABC相似總是存立，
∴只要求出點(diǎn)N與點(diǎn)C重合，且△BMN∽△BCA時(shí)AM的長即可．（1分）
當(dāng)△BMN∽△BCA（N與C重合）時(shí)，有∠BMN=∠ACB，則

BC

BM

=

BA

BC

，
即

5

6-x

=

6

5

，
∴x=

11

6

（1分）
∴當(dāng)符合題意的△BMN唯一時(shí)，x的取值范圍是0≤x＜

11

6

．（2分）

點(diǎn)評：本題關(guān)鍵是要懂得利用對應(yīng)角相等判定相似三角形，然后利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)來求解的．尤其是第（1）比較容易，（2）稍微有點(diǎn)難度．