Question

定義：若某個圖形可分割為若干個都與他相似的圖形，則稱這個圖形是自相似圖形．
探究：
（1）如圖甲，已知△ABC中∠C=90°，你能把△ABC分割成2個與它自己相似的小直角三角形嗎？若能，請在圖甲中畫出分割線，并說明理由．
（2）一般地，“任意三角形都是自相似圖形”，只要順次連接三角形各邊中點(diǎn)，則可將原三分割為四個都與它自己相似的小三角形．我們把△DEF（圖乙）第一次順次連接各邊中點(diǎn)所進(jìn)行的分割，稱為1階分割（如圖1）；把1階分割得出的4個三角形再分別順次連接它的各邊中點(diǎn)所進(jìn)行的分割，稱為2階分割（如圖2）…依次規(guī)則操作下去．n階分割后得到的每一個小三角形都是全等三角形（n為正整數(shù)），設(shè)此時小三角形的面積為S_N．
①若△DEF的面積為10000，當(dāng)n為何值時，2＜S_n＜3？（請用計算器進(jìn)行探索，要求至少寫出三次的嘗試估算過程）
②當(dāng)n＞1時，請寫出一個反映S_n-1，S_n，S_n+1之間關(guān)系的等式．（不必證明）

Answer 1

解：（1）如圖：割線CD就是所求的線段．
理由：∵∠B=∠B，∠CDB=∠ACB=90°，
∴△BCD∽△ACB．

（2）①△DEF經(jīng)N階分割所得的小三角形的個數(shù)為，
∴S_n=．
當(dāng)n=5時，S₅=≈9.77，
當(dāng)n=6時，S₆=≈2.44，
當(dāng)n=7時，S₇=≈0.61，
∴當(dāng)n=6時，2＜S₆＜3．
②S_n²=S_n-1×S_n+1．
分析：（1）過直角頂點(diǎn)作斜邊的垂線即可得出兩個與原直角三角形相似的三角形．由于這兩個三角形都與原三角形共用一個銳角，又都有一個直角，因此有兩個對應(yīng)角相等，因此都與原三角形相似．
（2）由圖可知，每分割一次得到的圖形的小三角形的個數(shù)都是前面一個圖形中小三角形的個數(shù)的4倍，因此當(dāng)?shù)趎個圖時，如果設(shè)原三角形的面積為S，那么小三角形的面積應(yīng)該是S_n=，
①按所求的公式進(jìn)行計算，看n是多少時Sn的值在2和3之間．
②S_n==，S_n-1==，S_n+1==
由此可看出S_n²=S_n-1•S_n+1
點(diǎn)評：本題考查的是相似形的識別，關(guān)鍵要聯(lián)系實(shí)際，根據(jù)相似圖形的定義得出．要根據(jù)前面幾個簡單圖形得出一般化規(guī)律，然后用得出的規(guī)律來求解．