已知:在四邊形ABCD中,AC = BD,AC與BD交于點O,∠DOC = 60°.
(1)當四邊形ABCD是平行四邊形時(如圖1),證明AB + CD = AC;
(2)當四邊形ABCD是梯形時(如圖2),AB∥CD,線段AB、CD和線段AC之間的數(shù)量關系是_____________________________;
(3)如圖3,四邊形ABCD中,AB與CD不平行,結論AB + CD = AC是否仍然成立?如果成立,請給予證明;如果不成立,請說明理由.
(1)見解析(2)AB+CD=AC(3)不成立,應為AB+CD>AC
【解析】(1)在▱ABCD中,∵AC=BD
∴▱ABCD為矩形
又∵∠DOC=60°,
∴∠AOB=60°,
又OA=OB=OC=OD,
∴AB=CD=OA=OC.
即AB+CD=AC;(3分)
(2)AB+CD=AC;
∵∠DOC=60°,
∴∠AOB=60°,
∵AC=BD,
∴△AOB,△DOC都是正三角形,
∴OA=OB=AB,OD=OC=DC
即AB+CD=AO+C0=AC;(3分)
(3)不成立,應為AB+CD>AC.
如圖所示過B作BM∥AC,過C作CM∥AB,
則四邊形ABMC為平行四邊形,
∴CM=AB,BM=AC=BD,BM∥AC,
又∵∠DOC=60°,
∴∠DBM=∠DOC=60°
即三角形DBM為等邊三角形,
∴BM=AC=DM
在△CDM中,CM+CD>DM,
即AB+CD>AC.(4分)
(1)當四邊形ABCD為平行四邊形時,由于AC=BD,所以平行四邊形ABCD實際為矩形,若∠DOC=60°時,三角形ABO和三角形DOC均為等邊三角形,所以會有AB+CD=AC;
(2)當四邊形ABCD為等腰梯形時,三角形ABO和三角形CDO也是等邊三角形,所以會有AB+CD=AC;
(3)不成立,過B作BM∥AC,過C作CM∥AB,連接DM.構建平行四邊形后AB=CM,BM=AC=BD,由于∠DOC=60°,可知∠DBM=60°,即三角形BDM為等邊三角形,所以BD=BM=DM=AC,在三角形DCM中,CM+CD>AC,即AB+CD>AC.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
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