Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線AB和拋物線交于點A（-4，0），B（0，4），且點B是拋物線的頂點．

（1）求直線AB和拋物線的解析式．

（2）點P是直線上方拋物線上的一點，求當△PAB面積最大時點P的坐標．

（3）M是直線AB上一動點，在平面直角坐標系內(nèi)是否存在點N，使以O(shè)、B、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x+4．y=-x2+4．（2）P（-2，3）．（3）N的坐標為（，）或（-，-）或（-4，4）或（2，2）．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)直線的解析式為y=kx+b，將A（-4，0），B（0，4）代入得到關(guān)于k、b的方程組，然后解得k、b的值即可；設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+4，然后將點A的坐標代入求得a的值即可；

（2）過點P作PQ⊥x軸，交AB于點Q．設(shè)點P（a， - +4），Q（a，a+4）．則PQ=--a，然后依據(jù)三角形的面積公式列出△ABP的面積與a的函數(shù)關(guān)系式，然后依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；

（3）先根據(jù)題意畫出圖形，需要注意本題共有4種情況，然后依據(jù)菱形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及特殊銳角三角函數(shù)值求解即可．

試題解析：（1）設(shè)直線的解析式為y=kx+b．

∵將A（-4，0），B（0，4）代入得：，解得k=1，b=4，

∴直線AB的解析式為y=x+4．

設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+4．

∵將A（-4，0）代入得：16a+4=0，解得a=-，

∴拋物線的解析式為y=-x2+4．

（2）如圖1所示，過點P作PQ⊥x軸，交AB于點Q．

設(shè)點P的坐標為（a，- +4），則點Q的坐標為（a，a+4）．則PQ=-+4-（a+4）=--a．

∵S△ABP的面積=PQ（xB-xA）=×4×（--a）=-a2-2a=-（a+2）2+2，

∴當a=-2時△ABP的面積最大，此時P（-2，3）．

（3）如圖2所示：延長MN交x軸與點C．

∵MN∥OB，OB⊥OC，

∴MN⊥OC．

∵OA=OB，∠AOB=90°，

∴∠BA0=45°．

∵ON∥AB，

∴∠NOC=45°．

∴OC=ON×=4×=2，NC=ON×=4×=2．

∴點N的坐標為（2，2）．

如圖3所示：過點N作NC⊥y軸，垂足為C．

∵OA=OB，∠AOB=90°，

∴∠OBA=45°．

∵ON∥AB，

∴∠NOC=45°．

∴OC=ON×=4×=2，NC=ON×=4×=2．

∴點N的坐標為（-2，-2）．

如圖4所示：連接MN交y軸與點C．

∵四邊形BNOM為菱形，OB=4，

∴BC=OC=2，MC=CN，MN⊥OB．

∴點的縱坐標為2．

∵將y=2代入y=x+4得：x+4=2，解得：x=-2，

∴點M的坐標為（-2，2）．

∴點N的坐標為（2，2）．

如圖5所示：

∵四邊形OBNM為菱形，

∴∠NBM=∠ABO=45°．

∴四邊形OBNM為正方形．

∴點N的坐標為（-4，4）．

綜上所述點N的坐標為（，）或（-，-）或（-4，4）或（2，2）．