【題目】已知,ABO的直徑,弦BCAF相交于點E,過點EEDAB,∠AEC=∠BED

1)如圖1,求證:;

2)如圖2,當∠BAF45°時,OCAF于點H,作FGBH于點Q,交AB于點G,連接GH,求證:∠AGH=∠BGF;

3)如圖3,在(2)的條件下,射線HGO交于點P,過點PPKBHAB于點M,垂足為點K,點NBH的中點,MN,求O的半徑.

【答案】1)詳見解析;(2)詳見解析;(36

【解析】

1)如圖1,連接BF,證△BDE≌△BFE,推出∠ABC=∠FBC,根據(jù)圓周角定理,即可得出結論;

2)如圖2,連接OFBF,作ASAF于點A,交FG的延長線于點S,證△FSA≌△BHF,再證△SAG≌△HAG,可得∠SGA=∠AGH,即可得出結論;

3)如圖3,過點OORHP于點R,OTBH于點T,連接BP分別證△ORH≌△OTH和△ORP≌△OTB,推出PHBH,設∠OPR=∠OBTα,推出POBO,∠OPB=∠OBP45°,PGPM,OGOM,過點MMLBP于點L,求出tanPMLtanPBH2,設BM4a,則BLML2a,結合NBH的中點,GH2MN,過點GGUOH于點U,在RtGUH中,可求出GU,即可求出a的值,可進一步求出OB的長.

1)如圖1,連接BF

ABO的直徑,

∴∠AFB90°,

∵∠AEC=∠BED,∠AEC=∠BEF

∴∠BEF=∠BED,

EDAB,

∴∠BDE=∠AFB90°,

又∵BEBE

∴△BDE≌△BFEAAS),

∴∠ABC=∠FBC

;

2)如圖2,連接OF、BF,作ASAF于點A,交FG的延長線于點S

,

∴∠AOC=∠FOC,

AOOF,

OCAF,

AHHFAF,

∵∠BAF45°,∠AFB=90°

AFBF,

FGBH,ASAF,

∴∠S=∠BHF,

又∵∠SAF=∠HFB90°,

∴△FSA≌△BHFAAS),

ASHFAH,

∵∠SAG=∠GAH45°,AGAG,

∴△SAG≌△HAGSAS),

∴∠SGA=∠AGH,

∴∠AGH=∠BGF;

3)如圖3,過點OORHP于點R,OTBH于點T,連接BP,

∵△SAG≌△HAG,

∴∠AHG=∠S=∠BHF,

OHAF,

∴∠OHG=∠OHB,

∵∠ORH=∠OTH90°,OHOH,

∴△ORH≌△OTHAAS),

RHTH,OROT,

又∵OPOB,∠ORP=∠OTB90°,

RtORPRtOTBHL),

PRBT,

PR+RHBT+TH

PHBH,

∴∠HPB=∠HBP

設∠OPR=∠OBTα,

∵∠AOH=∠A45°,

∴∠PHO=∠BHO=∠AOH﹣∠OBH45°﹣α,

∴∠PHB90°﹣,

∴∠HPB=∠HBP45°,

∴∠PBO45°,

POBO,

∴∠OPB=∠OBP45°,

POAB,

PKBH,GFBH

PKGF,

∴∠PMG=∠BGF,

∵∠PGM=∠AGH=∠BGF,

∴∠PGM=∠PMG,

PGPM

OGOM

過點MMLBP于點L,

∵∠PBH=∠BHF45°

tanPBHtanBHF2,

∵∠MPL=∠BPK

∴∠PML=∠PBH,

tanPMLtanPBH2

BM4a,則BLML2a,

PL4a,

PB6a

POBO6a,

OMOG2a

GM4a,

GMBM

NBH的中點,

MNBGH的中位線,

GH2MN,

過點GGUOH于點U,

tanGHOtanOHBtanFBH,

RtGUH中,設GUb,則UH2b,GHb

b=,

GU

GO22a,

a1

OB6a6,

O的半徑為6

練習冊系列答案
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