Question

【題目】如圖,已知拋物線上最高點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,4）,且拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（1,0）

(1)求此拋物線的解析式;

(2)設(shè)拋物線與X軸另一個(gè)交點(diǎn)為A，交Y軸于點(diǎn)C，請(qǐng)?jiān)趻佄锞�的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使△PBC周長最小，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)N是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），試問：是否存在點(diǎn)M，N，使得以點(diǎn)A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-2x+3(2)P（-1，2）（3）N(3, -12)，M（-1，-12）或N(-5, -12)，M（-1，-12）或N（-1，4），M（-1，-4）

【解析】

（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）2+4，把B（1,0）代入即可求出a，再化為一般式即可求解；

（2）根據(jù)A，B是對(duì)稱點(diǎn)，連接AC交對(duì)稱軸于P，此時(shí)△PBC周長最小，求出AC直線解析式，再求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可；

（3）分AB是平行四邊形的邊和對(duì)角線分別作圖，根據(jù)圖形的特點(diǎn)即可求解．

（1）∵拋物線上最高點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,4）,

∴設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）2+4，

把B（1,0）代入得0=4a+4

解得a=-1

∴y=-（x+1）2+4=-x2-2x+3

(2)如圖，∵A,B關(guān)于對(duì)稱軸x=-1對(duì)稱,連接AC交對(duì)稱軸于P點(diǎn)，△PBC周長=BC+PC+PB=BC+PC+AP=BC+AC,

此時(shí)△PBC的周長最小，

令y=0,即-x2-2x+3=0

解得x1=1，x2=-3

∴A（-3，0）

令x=0,即y=-x2-2x+3=3

∴C（0，3）

設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b

把A（-3，0），C（0，3）代入得

解得

∴直線AC的解析式為：y=x+3

令x=-1

解得y=2

∴P（-1，2）

（3）如圖，當(dāng)AB是平行四邊形的一邊時(shí)，

設(shè)N(x, -x2-2x+3)，則M（-1，-x2-2x+3）

由AB==1-(-3)=4，得

解得x=3或x=-5

故N(3, -12)，M（-1，-12）或N(-5, -12)，M（-1，-12）

如圖，當(dāng)AB是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，設(shè)MN,AB交于Q點(diǎn)，

則M,N在對(duì)角線x=-1上，MQ=NQ=4

故N（-1，4），M（-1，-4）

綜上，存在N(3, -12)，M（-1，-12）或N(-5, -12)，M（-1，-12）或N（-1，4），M（-1，-4）使得以點(diǎn)A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．