Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分線AE，DF分別與線段BC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，AE與DF相交于點(diǎn)G．
（1）求證：AE⊥DF；
（2）若AD=10，AB=8，AG=4，求EC及EG的長．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到∠BAD+∠ADC=180°；然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)推知∠DAE+∠ADF=

1

2

∠BAD+

1

2

∠ADC=90°，即∠AGD=90°．
（2）通過△AGD∽△EGF的對應(yīng)邊成比例來求EC及EG的長．

解答：（1）證明：在平行四邊形ABCD中，AB∥DC，
∴∠BAD+∠ADC=180°．
∵AE，DF分別是∠BAD，∠ADC的平分線，
∴∠DAE=∠BAE=

1

2

∠BAD，∠ADF=∠CDF=

1

2

∠ADC．
∴∠DAE+∠ADF=

1

2

∠BAD+

1

2

∠ADC=90°．
∴∠AGD=90°．
∴AE⊥DF．

（2）解：在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，BC=AD=10，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC．
由（1）得∠BAE=∠AEB，∠CDF=∠DFC．
∵AB=DC=8，
∴BE=AB=8，F(xiàn)C=CD=8．
∴EC=BC-BE=2．
∴EF=FC-EC=6．
∵AD∥BC，
∴∠DAG=∠FEG，∠ADG=∠EFG．
∴△AGD∽△EGF．
∴

AD

EF

=

AG

EG

．
∴

10

6

=

4

EG

．
∴EG=

12

5

．

點(diǎn)評：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)．解題時，一定要數(shù)形結(jié)合，便于求得相關(guān)線段間的數(shù)量關(guān)系．