Question

9．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=10．以點A為圓心，AC長為半徑的弧CD交AB于點D，點E是弧CD上任意一點，EH⊥BC于點H，以EH為邊長作正方形EHGF，點F在AB邊上，則S_{正方形EFGH}=4．

Answer 1

分析 延長線段FE交線段AC與點M，連接AE，設(shè)正方形EHGF的邊長為x，用x表示出ME和AM，在直角三角形AME中，由勾股定理即可解得x的值，從而得出正方形EHGF的面積．

解答 解：延長線段FE交線段AC與點M，連接AE，則AE=AC=5，如下圖．

設(shè)正方形EHGF的邊長為x．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=10，
tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{1}{2}$．
BG=$\frac{FG}{tan∠ABC}$=$\frac{x}{\frac{1}{2}}$=2x．
∵MF∥BC，AC∥EH，∠ACB=90°，
∴四邊形CHEM為長方形，
∴ME=CH，MC=EH，EM⊥AC．
ME=CH=BC-BG-HG=10-2x-x=10-3x，AM=AC-MC=AC-EH=5-x．
在直角△AME中，由勾股定理可得：
AE²=AM²+ME²，即5²=（10-3x）²+（5-x）²，
整理，得x²-7x+10=10，
解得x=2，x=5．
∵CH=10-3x＞0，
∴x=5舍去．
S_{正方形EFGH}=x²=2²=4．
故答案為：4．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)以及三角函數(shù)中的正切，解題的關(guān)鍵是：設(shè)正方形EHGF的邊長為x，用x表示出ME和AM，在直角三角形AME中，由勾股定理得出關(guān)于x的方程．