Question

已知：在正方形ABCD中，E為BC延長線上一點(diǎn)，連結(jié)AE分別交DC、DB于F、G．求證：
（1）∠DAG=∠DCG； 
（2）AG²=GE•GF；
（3）已知GF=

3

-1，EF=2

3

-2，求該正方形的邊長．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)易證△ADG≌△CDG，利用全等三角形的性質(zhì)即可得到∠DAG=∠DCG；
（2）由（1）可知：△ADG≌△CDG，所以AG=CG，若證明AG²=GE•GF，即證明CG²=GE•GF，則問題又可轉(zhuǎn)化為證明：△GCF∽△GEC即可；
（3）利用（2）中的結(jié)論可求出CG的長，進(jìn)而得打CF：CE的值，再利用勾股定理即可求出CE和CF的長，再證明△EFC∽△EAB，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出AB的長，問題得解．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠ADG=∠CDG=45°，
在△ADG和△CDG中，

AD=DC ∠ADG=∠CDG DG=DG

，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DAG=∠DCG；
（2）∵AD∥BE，
∴∠DAG=∠E，
∵△ADG≌△CDG，
∴∠DAG=∠GCD，AG=CG，
∴∠GCD=∠E，
∵∠GCE=∠GCD+90°，∠GFC=∠DAG+90°，
∴∠GFC=∠GCE，
∴△GCF∽△GEC，
∴CG²=GE•GF，
∴AG²=GE•GF；
（3）∵GF=

3

-1，EF=2

3

-2，
∴GE=GF+EF=3

3

-3，
∵CG²=GE•GF，
∴CG=3-

3

，
∴GF：CG=CF：CE=1：

3

，
∵EF=2

3

-2，
∴CF=

3

-1，CE=3-3

3

，
∵CF∥AB，
∴△EFC∽△EAB，
∴

CF

AB

=

CE

BE

，
∴

3 -1

AB

=

3- 3

3- 3 +AB

，
解得：AB=

3

．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，題目的綜合性強(qiáng)，難度大，解題的關(guān)鍵是注意圖形中相等線段的替代．