Question

如圖：∠MON=30°，點A₁、A₂、A₃…在射線ON上，點B₁、B₂、B₃…在射線OM上，△A₁B₁A₂、△A₂B₂A₃、△A₃B₃A₄…均為等邊三角形，若OA₁=1，則△A₆B₆A₇的高為

 

，△A_nB_nA_n+1的面積為

 

．

Answer 1

考點：等邊三角形的性質

專題：規(guī)律型

分析：根據(jù)等邊三角形的性質和∠MON=30°，可求得∠OB₁A₂=90°，可求得A₁A2=2OA₁=2，同理可求得OA_n+1=2OA_n=4OA_n-1=…=2^n-1OA₂=2ⁿOA₁=2ⁿ，再結合含30°角的直角三角形的性質可求得△A_nB_nA_n+1的邊長，進一步可求得面積，可得出答案．

解答：解：∵△A₁B₁A₂為等邊三角形，
∴∠B₁A₁A₂=60°，
∵∠MON=30°，
∴∠OB₁A₂=90°，可求得A₁A2=2OA₁=2，
同理可求得OA_n+1=2OA_n=4OA_n-1=…=2^n-1OA₂=2ⁿOA₁=2ⁿ，
在△OB_nA_n+1中，∠O=30°，∠B_nA_n+1O=60°，
∴∠OB_nA_n+1=90°，
∴B_nA_n+1=

1

2

OA_n+1=

1

2

×2ⁿ=2^n-1，
即△A_nB_nA_n+1的邊長為2^n-1，則可求得其高為

3

2

×2^n-1=

3

×2^n-2，
∴△A₆B₆A₇的高為

3

×2^6-2=16

3

，△A_nB_nA_n+1的面積為

3

4

×（2^n-1）²=

3

×2^2n-4，
故答案為：16

3

；

3

×2^2n-4．

點評：本題主要考查等邊三角形的性質和含30°角的直角三角形的性質，根據(jù)條件找到等邊三角形的邊長和OA₁的關系是解題的關鍵，注意等邊三角形的面積公式為S=

3

4

a²（a為等邊三角形的邊長）．