Question

13．已知，如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過點(diǎn)C的直線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，∠COB=2∠PCB，AC=PC．
（1）求證：OC⊥CP；
（2）求cos∠PAC的值；
（3）點(diǎn)M是弧AB的中點(diǎn)，CM交AB于點(diǎn)N，若AB=6，求MN•MC的值．

Answer 1

分析 （1）已知C在圓上，故只需證明OC與PC垂直即可；根據(jù)圓周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP；
（2）AB是直徑；故只需證明BC與半徑相等即可；繼而求得cos∠PAC的值；
（3）連接MA，MB，由圓周角定理可得∠ACM=∠BCM，進(jìn)而可得△MBN∽△MCB，故BM²=MN•MC；又由△ABM是等腰直角三角形，即可求得BM的值，繼而求得答案．

解答 （1）證明：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO．
又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，
∴∠A=∠ACO=∠PCB．
又∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACO+∠OCB=90°．
∴∠PCB+∠OCB=90°．
即OC⊥CP；

（2）證明：∵AC=PC，
∴∠A=∠P，
∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．
又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，
∴∠COB=∠CBO，
∴BC=OC，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠A=30°，
∴cos∠PAC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；

（3）解：連接MA，MB，
∵點(diǎn)M是$\widehat{AB}$的中點(diǎn)，
∴$\widehat{AM}$=$\widehat{BM}$，
∴∠ACM=∠BCM．
∵∠ACM=∠ABM，
∴∠BCM=∠ABM．
∵∠BMN=∠BMC，
∴△MBN∽△MCB．
∴$\frac{BM}{MC}=\frac{MN}{BM}$．
∴BM²=MN•MC．
又∵AB是⊙O的直徑，$\widehat{AM}$=$\widehat{BM}$，
∴∠AMB=90°，AM=BM．
∵AB=6，
∴BM=3$\sqrt{2}$．
∴MN•MC=BM²=18．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理以及三角函數(shù)等知識(shí)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．