Question

一個(gè)直角三角形的兩條直角邊分別長(zhǎng)3cm，4cm，則它的內(nèi)心和外心之間的距離為________．

Answer 1

分析：E為直角三角形ABC的內(nèi)心，F(xiàn)為直角三角形ABC的外心，過(guò)E作ET⊥BC于T，ER⊥AC于R，過(guò)F作FM⊥AC于M，TE交FM于N，得出ERCT是正方形，推出ER=RC=CT=ET，推出四邊形MCTN是矩形，得出CT=MN，CM=NT，求出FM=1.5，設(shè)直角三角形ABC的內(nèi)切圓的半徑是r，則ER=RC=CT=ET，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得出方程3-r+4-r=5，求出r=1，得出ER=RC=CT=ET=MN=1，在Rt△ENF中，EN=MR=1，F(xiàn)N=1.5-1=0.5，由勾股定理求出EF即可．
解答：
如圖，E為直角三角形ABC的內(nèi)心，F(xiàn)為直角三角形ABC的外心，
過(guò)E作ET⊥BC于T，ER⊥AC于R，過(guò)F作FM⊥AC于M，TE交FM于N，
則ER=ET，∠C=∠ERC=∠ETC=90°，
∴ERCT是正方形，
∴ER=RC=CT=ET，
∵∠FMC=∠C=∠NTC=90°，
∴四邊形MCTN是矩形，
∴CT=MN，CM=NT，
∵F為AB中點(diǎn)，F(xiàn)M∥BC，
∴M為AC中點(diǎn)，
∴FM=BC=1.5，MC=AM=2，
設(shè)直角三角形ABC的內(nèi)切圓的半徑是r，
則ER=RC=CT=ET，
根據(jù)切線長(zhǎng)定理得：3-r+4-r=5，
r=1，
即ER=RC=CT=ET=MN=1，
∴MR=2-1=1，
在Rt△ENF中，EN=MR=1，F(xiàn)N=1.5-1=0.5，由勾股定理得：EF==，
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，切線長(zhǎng)定理，三角形的外接圓與外心，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，切線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．