Question

（2012•金山區(qū)一模）據(jù)新華社12月13日電，參加湄公河聯(lián)合巡邏執(zhí)法的中國巡邏船順利返航．已知在巡邏過程中，某一天上午，我巡邏船正在由西向東勻速行駛，10：00巡邏船在A處發(fā)現(xiàn)北偏東53.1°方向，相距10海里的C處有一個(gè)不明物體正在向正東方向移動(dòng)，10：15巡邏船在B處又測得該物體位于北偏東18.4°方向的D處．若巡邏船的速度是每小時(shí)36海里，
（1）試在圖中畫出點(diǎn)D的大致位置，并求不明物體移動(dòng)的速度；
（2）假設(shè)該不明物體移動(dòng)的方向和速度保持不變，巡邏船航行的方向和速度也不變，試問什么時(shí)間該物體與我巡邏船之間的距離最近？
[備用數(shù)據(jù)：sin53.1°=0.8，cos53.1°=0.6，cot53.1°=0.75；sin18.4°=0.32，cos18.4°=0.95，cot18.4°=3；]．

Answer 1

分析：（1）設(shè)10：15時(shí)，巡邏船在B處，作北偏東18.4°方向，交過點(diǎn)C的水平線于點(diǎn)D即可；利用53.1°的三角函數(shù)值求得AF，CF長，進(jìn)而求得FB即CG的長，進(jìn)而利用18.4°的正切值可得GD長，也就求得了CD長，除以時(shí)間即為移動(dòng)的速度；
（2）兩者之間的最近距離為直線CD與AB的距離，根據(jù)GD和BQ相等可得相應(yīng)的關(guān)系式．

解答：解：（1）作AE⊥AB，CF⊥AB于點(diǎn)F，BG⊥CD于點(diǎn)G，由題意，∠EAC=53.1°，∠GBD=18.4°，

在△CAF中，CF⊥AB，∠ACF=∠EAC=53.1°
∴AF=AC•sin53.1°=10×0.8=8，CF=AC•cos53.1°=10×0.6=6，
∴BG=CF=6
又AB=

36

60

×15=9，
∴FB=AB-AF=9-8=1，從而CG=BF=1
在△BDG中，BG⊥CD，∠GBD=18.4°
∵cot18.4°=3，
∴tan18.4°=

1

3

∴GD=BG•tan18.4°=6×

1

3

=2，
∴CD=CG+GD=1+2=3，3÷

15

60

=12（海里/小時(shí)），

（2）由題意，不明物體沿CD移動(dòng)，我巡邏船沿AB運(yùn)動(dòng)，且CD∥AB，
∴兩者之間的最近距離為直線CD與AB的距離．
設(shè)又過了t分鐘，不明物體移動(dòng)到點(diǎn)P，我巡邏船到達(dá)點(diǎn)Q，這時(shí)PQ⊥AB，

則 DP=

12

60

t=

1

5

t，BQ=

36

60

t=

3

5

t，
∴

1

5

t+2=

3

5

t，解得t=5．
∴10：20兩者之間距離最近．

點(diǎn)評：考查解直角三角形的應(yīng)用；利用所給角的度數(shù)作出相應(yīng)輔助線，得到直角三角形是解決本題的突破點(diǎn)；利用相應(yīng)的銳角三角函數(shù)求得相關(guān)線段長是解決本題的關(guān)鍵．