Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），以AB的中點(diǎn)P為圓心，AB為直徑作⊙P的正半軸交于點(diǎn)C．

（1）求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；

（2）設(shè)M為（1）中拋物線的頂點(diǎn)，求直線MC對應(yīng)的函數(shù)解析式；

（3）試說明直線MC與⊙P的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：

二次函數(shù)綜合題；解二元一次方程組；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的最值；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；勾股定理；勾股定理的逆定理；切線的判定．

專題：

計算題．

分析：

（1）求出半徑，根據(jù)勾股定理求出C的坐標(biāo)，設(shè)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)拋物線解析式是y=a（x﹣4）（x+1），把C（0，2）代入求出a即可；

（2）求出M的坐標(biāo)，設(shè)直線MC對應(yīng)函數(shù)表達(dá)式是y=kx+b，把C（0，2），M（，）代入得到方程組，求出方程組的解即可；

（3）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)和勾股定理分別求出PC、DC、PD的平方，根據(jù)勾股定理的逆定理得出∠PCD=90°，即可求出答案．

解答：

解：（1）∵A（4，0），B（﹣1，0），

∴AB=5，半徑是PC=PB=PA=，

∴OP=﹣1=，

在△CPO中，由勾股定理得：OC==2，

∴C（0，2），

設(shè)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)拋物線解析式是y=a（x﹣4）（x+1），

把C（0，2）代入得：2=a（0﹣4）（0+1），

∴a=﹣，

∴y=﹣（x﹣4）（x+1）=﹣x²+x+2，

答：經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)拋物線解析式是y=﹣x²+x+2．

（2）y=﹣x²+x+2=﹣+，

M（，），

設(shè)直線MC對應(yīng)函數(shù)表達(dá)式是y=kx+b，

把C（0，2），M（，）代入得：，

解得：k=，b=2，

∴y=x+2，

y=x+2．

答：直線MC對應(yīng)函數(shù)表達(dá)式是y=x+2．

（3）MC與⊙P的位置關(guān)系是相切．

證明：設(shè)直線MC交x軸于D，

當(dāng)y=0時，0=x+2，

∴x=﹣，OD=，

∴D（﹣，0），

在△COD中，由勾股定理得：CD²=2²+==，

PC²===，

PD²==，

∴CD²+PC²=PD²，

∴∠PCD=90°，

∴PC⊥DC，

∵PC為半徑，

∴MC與⊙P的位置關(guān)系是相切．

本題主要考查對用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，勾股定理及勾股定理的逆定理，解二元一次方程組，二次函數(shù)的最值，切線的判定等知識點(diǎn)的連接和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理和計算是解此題的關(guān)鍵．