Question

16．如圖，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，在線段AB上取一點(diǎn)D，作DF⊥AB交AC于點(diǎn)F，現(xiàn)將△ADF沿DF折疊，使點(diǎn)A落在線段DB上，對應(yīng)點(diǎn)記為H，AD的中點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)記為G，若△GFH∽△GBF，則AD=$\frac{16}{5}$．

Answer 1

分析 利用勾股定理列式求出AC，設(shè)AD=2x，得到AE=DE=DG=GH=x，然后求出BG，再利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出DF，然后利用勾股定理列式求出GF，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解得到x的值，從而可得AD的值．

解答 解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
設(shè)AD=2x，
∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，將△ADF沿DF折疊，點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)記為H，點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)為G，
∴AE=DE=DG=GH=x，
∵DF⊥AB，∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△ABC∽△AFD，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{DF}{BC}$，
即$\frac{2x}{8}=\frac{DF}{6}$，
解得：DF=$\frac{3}{2}$x，
在Rt△DGF中，GF=$\sqrt{D{F}^{2}+D{G}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{2}x）^{2}+{x}^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}x}{2}$，
又∵BG=AB-AG=10-3x，△GFH∽△GBF，
∴$\frac{GF}{GH}=\frac{BG}{GF}$，
∴GF²=GH•BG，
即（$\frac{\sqrt{13}}{2}x$）²=x（10-3x），
解得x=$\frac{8}{5}$，
∴AD的長為2×$\frac{8}{5}$=$\frac{16}{5}$．
故答案為：$\frac{16}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的性質(zhì)，主要利用了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形對應(yīng)邊成比例，綜合題，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．