Question

【題目】正方形ABCD中，E點(diǎn)為BC中點(diǎn)，連接AE，過B點(diǎn)作BF⊥AE，交CD于F點(diǎn)，交AE于G點(diǎn)，

連接GD，過A點(diǎn)作AH⊥GD交GD于H點(diǎn)．

（1）求證：△ABE≌△BCF；

（2）若正方形邊長為4，AH=，求△AGD的面積．

Answer 1

【答案】（1）、答案見解析；（2）、

【解析】

試題分析：（1）、根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠1+∠2=90°，根據(jù)AE⊥BF得出∠3+∠2=90°，從而說明∠1=∠3，根據(jù)正方形得出∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，從而得出三角形全等；（2）、延長BF交AD延長線于M點(diǎn)，根據(jù)全等得出CF=BE，根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)得出CF=CD=FD，從而得出△BCF和△MDF全等，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出GD和AH的長度，從而得出面積.

試題解析：（1）、正方形ABCD中，∠ABE=90°，

∴∠1+∠2=90°，

又AE⊥BF，

∴∠3+∠2=90°，

則∠1=∠3

又∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC

在△ABE和△BCF中，

∴△ABE≌△BCF（ASA）

（2）、延長BF交AD延長線于M點(diǎn)， ∴∠MDF=90°

由（1）知△ABE≌△BCF， ∴CF=BE

∵E點(diǎn)是BC中點(diǎn)， ∴BE=BC，即CF=CD=FD，

在△BCF和△MDF中，

∴△BCF≌△MDF（ASA）

∴BC=DM，即DM=AD，D是AM中點(diǎn)

又AG⊥GM，即△AGM為直角三角形，

∴GD=AM=AD

又∵正方形邊長為4，

∴GD=4

S△AGD=GDAH=×4×=．