【題目】如圖,已知直線y=x+2交x軸、y軸分別于點A、B,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=﹣,且拋物線經(jīng)過A、B兩點,交x軸于另一點C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點M是拋物線x軸上方一點,∠MBA=∠CBO,求點M的坐標(biāo);
(3)過點A作AB的垂線交y軸于點D,平移直線AD交拋物線于點E、F兩點,連結(jié)EO、FO.若△EFO為以EF為斜邊的直角三角形,求平移后的直線的解析式.
【答案】(1)y=﹣x2﹣x+2.(2)M(﹣,).(3)平移后的解析式為y=﹣x﹣1+或y=﹣x﹣1﹣.
【解析】
(1)利用待定系數(shù)法即可解決問題;
(2)如圖1中,作EA⊥AB交BM的延長線于E,作EF⊥x軸于F.求出點E坐標(biāo),再求出直線BE的解析式,利用方程組即可解決問題;
(3)如圖2中,當(dāng)直線AD向下平移時,設(shè)E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),作EH⊥x軸于H,F(xiàn)G⊥x軸于G.利用相似三角形的性質(zhì)以及根與系數(shù)關(guān)系構(gòu)建方程組即可解決問題;
(1)∵直線y=x+2交x軸、y軸分別于點A、B,
∴A(﹣2,0),B(0,2),
∵拋物線的對稱軸x=﹣,A,C關(guān)于對稱軸對稱,
∴C(1,0),
設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)(x﹣1),把(0,2)代入得到a=﹣1,
∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+2.
(2)如圖1中,作EA⊥AB交BM的延長線于E,作EF⊥x軸于F.
∵∠ABE=∠OBC,∠BAE=∠BOC=90°,
∴△BAE∽△BOC,
∴,
∴,
∴AE=,
∵∠EAF+∠BAO=90°,∠BAO=45°,
∴∠EAF=45°,
∴EF=AF=1,
∴E(3,1),
∴直線BE的解析式為y=﹣x+2,
由,解得或,
∴M(-,).
(3)如圖2中,當(dāng)直線AD向下平移時,設(shè)E(x1,y1),F(x2,y2),作EH⊥x軸于H,FG⊥x軸于G.
∵∠EOF=90°=∠PHE=∠OGF,
由△EHO∽△OGF得到:
,
∴,
∴x1x2+y1y2=0,
由,消去y得到:x2+b-2=0,
∴x1x2=b-2,x1+x2=0,y1y2=(-x1+b)(-x2+b)=x1x2+b2,
∴2(b-2)+b2=0,
解得b=-1-或-1+(舍棄),
當(dāng)直線AD向上平移時,同法可得b=-1+,
綜上所述,平移后的解析式為y=-x-1+或y=-x-1-.
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【題目】已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(4,3),(3,0).
(1)求b、c的值;
(2)求出該二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)和對稱軸,并在所給坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象;
(3)該函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的平移得到y=x2的圖象?
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=﹣x+3與拋物線交于A、B兩點,點A在x軸上,點B的橫坐標(biāo)為.動點P在拋物線上運動(不與點A、B重合),過點P作y軸的平行線,交直線AB于點Q.當(dāng)PQ不與y軸重合時,以PQ為邊作正方形PQMN,使MN與y軸在PQ的同側(cè),連結(jié)PM.設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m.
(1)求b、c的值.
(2)當(dāng)點N落在直線AB上時,直接寫出m的取值范圍.
(3)當(dāng)點P在A、B兩點之間的拋物線上運動時,設(shè)正方形PQMN的周長為C,求C與m之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出C隨m增大而增大時m的取值范圍.
(4)當(dāng)△PQM與坐標(biāo)軸有2個公共點時,直接寫出m的取值范圍.
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【題目】如圖拋物線y=ax2+2交x軸于點A(﹣2,0)、B,交y軸于點C;
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P從點A出發(fā),以1個單位/秒的速度向終點B運動,同時點Q從點C出發(fā),以相同的速度沿y軸正方向向上運動,運動的時間為t秒,當(dāng)點P到達點B時,點Q也停止運動,設(shè)△PQC的面積為S,求S與t間的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出t的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)點P在線段OB上時,設(shè)PQ交直線AC于點G,過P作PE⊥AC于點E,求EG的長.
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【題目】某汽車廠決定把一塊長100m、寬60m的矩形空地建成停車場.設(shè)計方案如圖所示,陰影區(qū)域為綠化區(qū)(四塊綠化區(qū)為全等的矩形),空白區(qū)域為停車位,且四周的4個出口寬度相同,其寬度不小于28m,不大于52m.設(shè)綠化區(qū)較長邊為xm,停車場的面積為ym2
(1)直接寫出:
①用x的式子表示出口的寬度為_____.
②y與x的函數(shù)關(guān)系式及x的取值范圍.
(2)求停車場的面積y的最大值.
(3)預(yù)計停車場造價為100元/m2,綠化區(qū)造價為50元/m2.如果汽車廠投資不得超過540000元建造,當(dāng)x為整數(shù)時,共有幾種建造方案?
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,過點B(6,0)的直線AB與直線OA相交于點A(4,2),動點M在線段OA和射線AC上運動.
(1)求直線AB的解析式.
(2)求△OAC的面積.
(3)是否存在點M,使△OMC的面積是△OAC的面積的?若存在求出此時點M的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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【題目】解方程:
我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的多種解法:如因式分解法,開平方法,配方法和公式法,還可以運用十字相乘法,請從以下一元二次方程中任選兩個,并選擇你認(rèn)為適當(dāng)?shù)姆椒ń膺@個方程.
① ② ③ ④
我選擇第 個方程。
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【題目】如圖,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,D是AB的中點,AE∥CD,AC∥ED,
求證:四邊形ACDE是菱形.
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【題目】如圖某農(nóng)場要建一個長方形的養(yǎng)雞場,雞場的一邊靠墻(墻長18m),另三邊用木欄圍成,木欄長35m.雞場的面積能達到150m2嗎?如果能,請你給出設(shè)計方案;如果不能,請說明理由.
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