Question

如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左側，B點的坐標為（3，0），與y軸交于C（0，﹣3）點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點．

（1）求這個二次函數的表達式．

（2）連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面積．

　

Answer 1

【考點】二次函數綜合題．

【專題】壓軸題．

【分析】（1）將B、C的坐標代入拋物線的解析式中即可求得待定系數的值；

（2）由于菱形的對角線互相垂直平分，若四邊形POP′C為菱形，那么P點必在OC的垂直平分線上，據此可求出P點的縱坐標，代入拋物線的解析式中即可求出P點的坐標；

（3）由于△ABC的面積為定值，當四邊形ABPC的面積最大時，△BPC的面積最大；過P作y軸的平行線，交直線BC于Q，交x軸于F，易求得直線BC的解析式，可設出P點的橫坐標，然后根據拋物線和直線BC的解析式求出Q、P的縱坐標，即可得到PQ的長，以PQ為底，B點橫坐標的絕對值為高即可求得△BPC的面積，由此可得到關于四邊形ACPB的面積與P點橫坐標的函數關系式，根據函數的性質即可求出四邊形ABPC的最大面積及對應的P點坐標．

【解答】解：（1）將B、C兩點的坐標代入得，

解得：；

所以二次函數的表達式為：y=x²﹣2x﹣3

（2）存在點P，使四邊形POP′C為菱形；

設P點坐標為（x，x²﹣2x﹣3），PP′交CO于E

若四邊形POP′C是菱形，則有PC=PO；

連接PP′，則PE⊥CO于E，

∵C（0，﹣3），

∴CO=3，

又∵OE=EC，

∴OE=EC=

∴y=；

∴x²﹣2x﹣3=

解得x₁=，x₂=（不合題意，舍去），

∴P點的坐標為（，）

（3）過點P作y軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點F，設P（x，x²﹣2x﹣3），設直線BC的解析式為：y=kx+d，

則，

解得：

∴直線BC的解析式為y=x﹣3，

則Q點的坐標為（x，x﹣3）；

當0=x²﹣2x﹣3，

解得：x₁=﹣1，x₂=3，

∴AO=1，AB=4，

S_{四邊形ABPC}=S_△ABC+S_△BPQ+S_△CPQ

=AB•OC+QP•BF+QP•OF

=

=

當時，四邊形ABPC的面積最大

此時P點的坐標為，四邊形ABPC的面積的最大值為．

【點評】此題考查了二次函數解析式的確定、菱形的判定和性質以及圖形面積的求法等知識，當所求圖形不規(guī)則時通常要將其轉換為其他規(guī)則圖形面積的和差關系來求解．