Question

如圖，已知點(diǎn)A、B、C、D在已知⊙O上，AD∥BC，∠ADC=120°，⊙O的半徑為2．
（1）求證：AC是∠BCD的平分線；
（2）求圓內(nèi)接四邊形ABCD的周長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∠ADC=120°，
∴∠B=60°，
∵BC是直徑，
∴∠BAC=90°，
∴∠ACB=30°，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=30°，
∵∠ADC=120°，
∴∠DCA=30°，
∴∠DCA=∠ACB，
∴AC是∠BCD的平分線；
（2）解：連接OA，如圖，
∵∠B=60°，OB=OA，
∴△OAB為等邊三角形，
∴∠AOB=60°，
∵AD∥BC，∠ADC=120°，
∴∠DCB=60°，
∴OA∥CD，
∵OA=OC，
∴四邊形OADC為菱形，
∴AD=DC=OC=2，
在Rt△ABC中，AB=BC=2，
∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)=2+2+2+4=10．
分析：（1）四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∠ADC=120°根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠B=60°，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角由BC是直徑得到∠BAC=90°，則∠ACB=30°，根據(jù)AD∥BC可得∠DAC=30°，利用三角形內(nèi)角和定理由∠ADC=120°得到∠DCA=30°，則∠DCA=∠ACB，即AC是∠BCD的平分線；
（2）連接OA，易證得△OAB為等邊三角形，則∠AOB=60°，由AD∥BC，∠ADC=120°，得到∠DCB=60°，所以O(shè)A∥CD，而OA=OC，則有四邊形OADC為菱形，于是AD=DC=OC=2，而在Rt△ABC中，AB=BC=2，于是得到四邊形ABCD的周長(zhǎng)=2+2+2+4=10．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理的推論：直徑所對(duì)的圓周角為直角．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和平行線的性質(zhì)．