Question

1．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，PD∥AC，PC∥BD．
（1）求證：四邊形OCPD是菱形；
（2）若∠ACD=30°，菱形OCPD的面積為9$\sqrt{3}$，求AC的長(zhǎng)；
（3）若將題設(shè)中“矩形ABCD”這一條件改為“菱形ABCD”，其余條件不變，則四邊形OCPD是矩形．

Answer 1

分析 （1）由PD∥AC，PC∥BD，易得四邊形OCPD是平行四邊形，又由矩形ABCD的對(duì)角線互相平分且相等，即可得OC=OD，繼而證得四邊形OCPD是菱形；
（2）由四邊形OCPD是菱形；易得S_菱形OCPD=S_△ADC，又由∠ACD=30°，菱形OCPD的面積為9$\sqrt{3}$，即可求得答案；
（3）由PD∥AC，PC∥BD，易得四邊形OCPD是平行四邊形，又由菱形的對(duì)角線互相垂直，即可得AC⊥BD，繼而證得四邊形OCPD是矩形．

解答 （1）證明：∵PD∥AC，PC∥BD，
∴四邊形OCPD是平行四邊形，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OD=$\frac{1}{2}$BD，OC=$\frac{1}{2}$AC，
∴OC=OD，
∴四邊形OCPD是菱形；

（2）解：∵四邊形OCPD是菱形；
∴S_△OCD=S_△PCD，
∵OA=OC，
∴S_△OCD=S_△OAD，
∴S_△OAD=S_△PCD，
∴S_菱形OCPD=S_△ADC，
∵∠ACD=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC，
∴CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$AD，
∴$\frac{1}{2}$AD•$\sqrt{3}$AD=9$\sqrt{3}$，
解得：AD=3$\sqrt{2}$，
∴AC=6$\sqrt{2}$；

（3）矩形．
證明：∵PD∥AC，PC∥BD，
∴四邊形OCPD是平行四邊形，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD=90°，
∴四邊形OCPD是矩形．
故答案為：矩．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了矩形的性質(zhì)與判定、菱形的判定與性質(zhì)以及含30°的直角三角形的性質(zhì)．注意掌握菱形的對(duì)角線互相垂直以及矩形的對(duì)角線互相平分且相等．