Question

6．如圖，已知A（$2\sqrt{3}$，2）、B（$2\sqrt{3}$，1），將△AOB繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A′（-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$）的位置，則圖中陰影部分的面積為$\frac{7}{8}π$．

Answer 1

分析 由A（2$\sqrt{3}$，2）旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A′（-2，2$\sqrt{2}$），易得旋轉(zhuǎn)角為105°，求出OA和OB，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，陰影部分的面積等于S_扇形A'OA-S_扇形C'OC，從而求出答案．

解答 解：（1）∵A（$2\sqrt{3}$，2）、A′（-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$），
∴∠A′OA=45°+60°=105°，
∵將△AOB繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A（2$\sqrt{3}$，2）旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A′（-2，2$\sqrt{2}$）的位置，B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B′位置，
∴∠A′OA=∠B′OB=105°，
∵B（2$\sqrt{3}$，1），A′（-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$），
∴B′點(diǎn)坐標(biāo)為（-2$\sqrt{2}$+1，2$\sqrt{2}$）；

（2）如圖，設(shè)$\widehat{BB′}$交OA′于C′，
∵A（2$\sqrt{3}$，2）、B（2$\sqrt{3}$，1），
∴OA=4，OC=OB=$\sqrt{13}$．
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，S_△OB′C′=S_△OBC，
∴陰影部分的面積=S_扇形A'OA-S_扇形C'OC=$\frac{105π•{4}^{2}}{360}$-$\frac{105π•（\sqrt{13}）^{2}}{360}$=$\frac{7}{8}$π，
故答案為：$\frac{7}{8}$π．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了扇形的面積計(jì)算及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出S_OB′C′=S_OBC，從而得到陰影部分的表達(dá)式．