Question

如圖，在直角坐標系中，已知點A（4，0），B（0，3），點P是線段OA上的動點（P不與A、O重合），設PO=x，點P到AB的距離PQ為y．
（1）試確定Rt△ABO內(nèi)切圓I的半徑；
（2）求y與x的函數(shù)解析式；
（3）試判斷以P為圓心，半徑為y的圓與⊙I能否相切？若能，請求出相應的x的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）作出正方形FIEO，推出IF=IE=OF=OE，求出半徑；
（2）證△AQP∽△AOB，得到

PQ

BO

=

AP

AB

，求出AB，代入求出即可；
（3）根據(jù)相切兩圓的性質(zhì)求出PI、PE、IE，根據(jù)勾股定理得到方程，求出方程的解即可．

解答：解：（1）∵圓I是△ABO的內(nèi)切圓，

∴BN=BF，OF=OE，AE=AN，∠IFO=∠IEO=∠O=90°，IE=IF，
∴四邊形FIEO是正方形，
∴IF=IE=OF=OE，
∴3-IE+4-IE=5，
解得：IE=1；

（2）∵點A（4，0），B（0，3），
∴在△ABO中AO=4，BO=3，由勾股定理得：AB=5，
∵∠O=90°，PQ⊥AB，
∴∠O=∠PQA=90°，
∵∠A=∠A，
∴△AQP∽△AOB，
∴

PQ

BO

=

AP

AB

，
即

y

3

=

4-x

5

，
解得：y=-

3

5

x+

12

5

，
答：y與x的函數(shù)關系式是y=-

3

5

x+

12

5

；

（3）以P為圓心，半徑為y的圓與⊙I能相切．
理由是：連接PI過兩圓的切點，
當兩圓外切時，

PQ=y，PE=x-1，IE=1，PI=1+y，
由勾股定理得：12+(x-1)2=(-

3

5

x+

12

5

+1)2
解得：x1=

-13+15 5

8

，x2=

-13-15 5

8

（舍去）
當兩圓內(nèi)切時，

PQ=y，PE=x-1，IE=1，PI=y-1，
由勾股定理得：12+(x-1)2=(-

3

5

x+

12

5

-1)2
解得：x=

1

4

．
答：以P為圓心，半徑為y的圓與⊙I外切時x=

-13+15 5

8

，內(nèi)切時x=

1

4

．

點評：本題主要考查對勾股定理，相切兩圓的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，切線長定理，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心等知識點的理解和掌握，能綜合運用性質(zhì)進行推理是解此題的關鍵．