Question

11．對于兩個(gè)相似三角形，如果沿周界按對應(yīng)點(diǎn)順序環(huán)繞的方向相同，那么稱這兩個(gè)三角形互為順相似；如果沿周界按對應(yīng)點(diǎn)順序環(huán)繞的方向相反，那么稱這兩個(gè)三角形互為逆相似．例如，如圖①，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA與A′B′C′A′環(huán)繞的方向相同，因此△ACB和△A′B′C′互為順相似；如圖②，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA與A′B′C′A′環(huán)繞的方向相反，因此△ACB和△A′B′C′互為逆相似．

（1）根據(jù)圖Ⅰ，圖Ⅱ和圖Ⅲ滿足的條件．可得下列三對相似三角形：①△ADE與△ABC；②△GHO與△KFO；③△NQP與△NMQ；其中，互為順相似的是①②；互為逆相似的是③．（填寫所有符合要求的序號）．

（2）如圖③，在銳角△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，點(diǎn)P在△ABC的邊AB上（不與點(diǎn)A，B重合）．過點(diǎn)P畫直線截△ABC，使截得的一個(gè)三角形與△ABC互為逆相似．請根據(jù)點(diǎn)P的不同位置，探索過點(diǎn)P的截線的情形，請?jiān)趥溆脠D中畫出圖形并說明截線滿足的條件，不必說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)互為順相似和互為逆相似的定義即可作出判斷；
（2）根據(jù)點(diǎn)P在△ABC邊上的位置分為三種情況，需要分類討論，逐一分析求解即可．

解答 解：（1）互為順相似的是 ①②；互為逆相似的是 ③；
故答案為：①②，③；
（2）根據(jù)點(diǎn)P在△ABC邊上的位置分為以下三種情況：
第一種情況：如圖①，點(diǎn)P在BC（不含點(diǎn)B、C）上，過點(diǎn)P只能畫出2條截線PQ₁、PQ₂，分別使∠CPQ₁=∠A，∠BPQ₂=∠A，此時(shí)△PQ₁C、△PBQ₂都與△ABC互為逆相似．
第二種情況：如圖②，點(diǎn)P在AC（不含點(diǎn)A、C）上，過點(diǎn)B作∠CBM=∠A，BM交AC于點(diǎn)M．
當(dāng)點(diǎn)P在AM（不含點(diǎn)M）上時(shí)，過點(diǎn)P₁只能畫出1條截線P₁Q，使∠AP₁Q=∠ABC，此時(shí)△AP₁Q與△ABC互為逆相似；
當(dāng)點(diǎn)P在CM上時(shí)，過點(diǎn)P₂只能畫出2條截線P₂Q₁、P₂Q₂，分別使∠AP₂Q₁=∠ABC，∠CP₂Q₂=∠ABC，此時(shí)△AP₂Q₁、△Q₂P₂C都與△ABC互為逆相似．
第三種情況：如圖③，點(diǎn)P在AB（不含點(diǎn)A、B）上，過點(diǎn)C作∠BCD=∠A，∠ACE=∠B，CD、CE分別交AB于點(diǎn)D、E．
當(dāng)點(diǎn)P在AD（不含點(diǎn)D）上時(shí)，過點(diǎn)P只能畫出1條截線P₁Q，使∠AP₁Q=∠ACB，此時(shí)△AQP₁與△ABC互為逆相似；
當(dāng)點(diǎn)P在DE上時(shí)，過點(diǎn)P₂只能畫出2條截線P₂Q₁、P₂Q₂，分別使∠AP₂Q₁=∠ACB，∠BP₂Q₂=∠BCA，此時(shí)△AQ₁P₂、△Q₂BP₂
都與△ABC互為逆相似；
當(dāng)點(diǎn)P在BE（不含點(diǎn)E）上時(shí)，過點(diǎn)P₃只能畫出1條截線P₃Q′，使∠BP₃Q′=∠BCA，此時(shí)△Q′BP₃與△ABC互為逆相似．

點(diǎn)評 本題是創(chuàng)新型中考壓軸題，主要考查了相似三角形的知識點(diǎn)、分類討論的數(shù)學(xué)思想以及接受與理解新生事物的能力．準(zhǔn)確理解題設(shè)條件中“順相似”“逆相似”的定義是正確解題的先決條件，在分析與解決問題的過程中，要考慮全面，進(jìn)行分類討論，避免漏解．