Question

如圖，拋物線y=x²+bx-2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，且A（-1，0）．
（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結論；
（3）點M（m，0）是x軸上的一個動點，當MC+MD的值最小時，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把A點的坐標代入拋物線解析式，求b的值，即可得出拋物線的解析式，根據頂點坐標公式，即可求出頂點坐標；
（2）根據直角三角形的性質，推出AC²=OA²+OC²=5，BC²=OC²+OB²=20，即AC²+BC²=25=AB²，即可確定△ABC是直角三角形；
（3）作出點C關于x軸的對稱點C′，則C′（0，2），OC'=2．連接C'D交x軸于點M，根據軸對稱性及兩點之間線段最短可知，MC+MD的值最�。�首先確定最小值，然后根據三角形相似的有關性質定理，求m的值
解答：解：（1）∵點A（-1，0）在拋物線y=x²+bx-2上，
∴×（-1 ）²+b×（-1）-2=0，解得b=
∴拋物線的解析式為y=x²-x-2．
y=x²-x-2
=（ x²-3x-4 ）
=（x-）²-，
∴頂點D的坐標為 （，-）．

（2）當x=0時y=-2，∴C（0，-2），OC=2．
當y=0時，x²-x-2=0，∴x₁=-1，x₂=4，∴B （4，0）
∴OA=1，OB=4，AB=5．
∵AB²=25，AC²=OA²+OC²=5，BC²=OC²+OB²=20，
∴AC²+BC²=AB²．∴△ABC是直角三角形．

（3）作出點C關于x軸的對稱點C′，則C′（0，2），OC′=2，
連接C′D交x軸于點M，根據軸對稱性及兩點之間線段最短可知，MC+MD的值最�。�
解法一：設拋物線的對稱軸交x軸于點E．
∵ED∥y軸，∴∠OC′M=∠EDM，∠C′OM=∠DEM
∴△C′OM∽△DEM．
∴
∴，
∴m=．

解法二：設直線C′D的解析式為y=kx+n，
則，
解得：．
∴．
∴當y=0時，，．
∴．
點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、直角三角形的性質及判定、軸對稱性質以及相似三角形的性質，關鍵在于求出函數表達式，作出輔助線，找對相似三角形．