Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知二次函數(shù)y= 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)B（1，﹣ ），直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)且與y軸垂直，垂足為Q．

（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）設(shè)拋物線(xiàn)上有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B處出發(fā)沿拋物線(xiàn)向上運(yùn)動(dòng)，其縱坐標(biāo)y1隨時(shí)間t（t≥0）的變化規(guī)律為y1=﹣ +2t．現(xiàn)以線(xiàn)段OP為直徑作⊙C．
①當(dāng)點(diǎn)P在起始位置點(diǎn)B處時(shí)，試判斷直線(xiàn)l與⊙C的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，直線(xiàn)l與⊙C是否始終保持這種位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明你的理由．
②若在點(diǎn)P開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，直線(xiàn)l也向上平行移動(dòng)，且垂足Q的縱坐標(biāo)y2隨時(shí)間t的變化規(guī)律為y2=﹣1+3t，則當(dāng)t在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，直線(xiàn)l與⊙C相交？此時(shí)，若直線(xiàn)l被⊙C所截得的弦長(zhǎng)為a，試求a2的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)B（1，﹣ ）分別代入y= x2+mx+n中，得：

，

解得： ，

∴拋物線(xiàn)的解析式：y= x2﹣1

（2）

解：①將P點(diǎn)縱坐標(biāo)代入（1）的解析式，得：

x2﹣1=﹣ +2t，x= ，

∴P（ ，﹣ +2t），

∴圓心C（ ，﹣ +t），

∴點(diǎn)C到直線(xiàn)l的距離：﹣ +t﹣（﹣1）=t+ ；

而OP2=8t+1+（﹣ +2t）2，得OP=2t+ ，半徑OC=t+ ；

∴直線(xiàn)l與⊙C始終保持相切．

②Ⅰ、由①可知，若直線(xiàn)l與⊙C相切，則：2t﹣ =t+ ，t= ；

∴當(dāng)0＜t＜ 時(shí)，直線(xiàn)l與⊙C相交；

Ⅱ、∵0＜t＜ 時(shí)，圓心C到直線(xiàn)l的距離為d=|2t﹣ |，又半徑為r=t+ ，

∴a2=4（r2﹣d2）=4[（t+ ）2﹣|2t﹣ |2]=﹣12t2+15t，

∴t= 時(shí)，a的平方取得最大值為

【解析】（1）所求函數(shù)的解析式中有兩個(gè)待定系數(shù)，直接將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可得解．（2）①由于OP是⊙C的直徑，根據(jù)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)可表示出C點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而能表示出C到直線(xiàn)l的距離；OP長(zhǎng)易得，然后通過(guò)比較⊙C的半徑和C到直線(xiàn)l的距離，即可判定直線(xiàn)l與⊙C的位置關(guān)系．
②該題要分兩問(wèn)來(lái)答，首先看第一問(wèn)；該小題的思路和①完全一致，唯一不同的地方：要注意直線(xiàn)l與點(diǎn)C的位置關(guān)系（需要考慮到C到直線(xiàn)l的表達(dá)方式）．
在第二問(wèn)中，a2最大，那么a最大，即直線(xiàn)l被⊙C截得的弦最長(zhǎng)，此時(shí)圓心C應(yīng)在直線(xiàn)l上，根據(jù)該思路即可得解．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識(shí)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱(chēng)軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)，以及對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)的理解，了解增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而減�。�