Question

如圖，一條拋物線(xiàn)y=ax²+bx（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，），正方形ABCD的邊AB落在x軸的正半軸上，頂點(diǎn)C、D在這條拋物線(xiàn)上．
（1）求這條拋物線(xiàn)的表達(dá)式；
（2）求正方形ABCD的邊長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)拋物線(xiàn)頂點(diǎn)式解析式y(tǒng)=a（x-2）²+，然后把原點(diǎn)坐標(biāo)代入計(jì)算求出a的值即可得解；
（2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2m，根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后代入拋物線(xiàn)解析式計(jì)算求出m的值，即可得解．
解答：解：（1）∵拋物線(xiàn)y=ax²+bx（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，），
∴設(shè)頂點(diǎn)式形式為y=a（x-2）²+，
則a（0-2）²+=0，
解得a=-，
所以，y=-（x-2）²+=-x²+x，
故拋物線(xiàn)解析式為y=-x²+x；

（2）設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2m，
∵拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=2，AB落在x軸的正半軸上，頂點(diǎn)C、D在這條拋物線(xiàn)上，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2+m，2m），
∴-（2+m）²+（2+m）=2m，
整理得，m²+3m-4=0，
解得m₁=1，m₂=-4（舍去）．
所以正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2m=2×1=2．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，正方形的性質(zhì)，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，（1）利用拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)式解析式求解更加簡(jiǎn)便．