Question

3．如圖，已知A（2，0），B（4，0），點(diǎn)P是直線y=x上一點(diǎn)，當(dāng)PA+PB最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$）．

Answer 1

分析 先作出點(diǎn)A關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)A′，再連接A′B，求出直線A′B的函數(shù)解析式，再聯(lián)立直線y=x列方程組即可求解．

解答 解：如圖，作A關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)A′，
則PA=PA′，
故PA+PB=PA′+PB，
由圖知，只有當(dāng)A、P、B共線時(shí)，PA+PB最小，
又由A與A′關(guān)于y=x對稱知，A′（0，2），
由A′、B兩點(diǎn)坐標(biāo)得直線A′B的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
聯(lián)立 $\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$，
解得 x=y=$\frac{4}{3}$，
故當(dāng)PA+PB最小時(shí)，P的坐標(biāo)為：（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$）．
故答案為：（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$）．

點(diǎn)評 此題主要考查了軸對稱--最短路線問題，綜合運(yùn)用了一次函數(shù)和方程組的知識，綜合性較強(qiáng)，做題的關(guān)鍵是正確作出圖形．